二重积分的计算公式，二重积分的计算法笔记

二重积分经常会用到公式：

I=∫dx∫（x^2+y^2）^-1/2。二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似是某种特定形式的和的极限。实质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。

把二重积分化成二次积分，其实就是常说的把这当中一个变量当成常量例如Y，然后只对一个变量积分，得到一个只含Y的被积函数，再对Y积分就行了。

计算二重积分的基本思路是简化积分计算思想，即把二重积分尽量的转化为累次积分。

针对这个问题，一定要注意：选取合适坐标是否分域，如何定限。计算二重积分的主要方式有：利用对称性、奇偶性、变量替换、几何意义化简，利用直角坐标或极坐标化为二次积分，利用分域法，交换积分次序等能大大简化二重积分的计算，只要方式选得一定程度上，二重积分的运算量就可以小不少。



二重积分的现实（物理）含义：面积×物理量＝二重积分值；

举例说明：二重积分的现实（物理）含义：

二重积分计算平面面积，即：面积×1＝平面面积；二重积分计算立体体积，即：底面积×高＝立体体积；二重积分计算平面薄皮质量，即：面积×面密度＝平面薄皮质量。

扩展资料：

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似是某种特定形式的和的极限。实质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

二重积分经常会用到公式：

I=∫dx∫（x^2+y^2）^-1/2。二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似是某种特定形式的和的极限。实质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。

计算方式有两大类：1、利用直角坐标计算X型积分区域

Y型积分区域2、利用极坐标计算（当被积函数产生x^2+y^2时优先考虑）要点：二重积分的计算大多数情况下要化成累次积分来计算做练习题的时候要会利用积分区域的对称性会利于被积函数的奇偶性要会交换坐标系

计算技巧：第1个步骤：先画积分区域，并观察积分区域是不是有关某个坐标轴对称，有对称性解题会方便不少！第2个步骤：利用适合的坐标系进行计算是选直角坐标还是选极坐标是选X型还是Y型还是r-θ型，并考虑被积函数是不是有奇偶性！二重积分是二元函数在空间上的积分是某种特定形式的和的极限。实质是求曲顶柱体体积。同定积分类似。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的曲面上进行积分，称为曲面积分。

把二重积分化成二次积分，其实就是常说的把这当中一个变量当成常量例如Y，然后只对一个变量积分，得到一个只含Y的被积函数，再对Y积分就行了。

计算二重积分的基本思路是简化积分计算思想，即把二重积分尽量的转化为累次积分。

针对这个问题，一定要注意：选取合适坐标是否分域，如何定限。计算二重积分的主要方式有：利用对称性、奇偶性、变量替换、几何意义化简，利用直角坐标或极坐标化为二次积分，利用分域法，交换积分次序等能大大简化二重积分的计算，只要方式选得一定程度上，二重积分的运算量就可以小不少。

二重积分的现实（物理）含义：面积×物理量＝二重积分值；

举例说明：二重积分的现实（物理）含义：

二重积分计算平面面积，即：面积×1＝平面面积；二重积分计算立体体积，即：底面积×高＝立体体积；二重积分计算平面薄皮质量，即：面积×面密度＝平面薄皮质量。

扩展资料：

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似是某种特定形式的和的极限。实质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

几何意义上来说，二重积分算的是体积；它的特例，当被积函数为1时，计算结果等效为面积。

几何上的解释就是，当高为1时，体积和底面积的数值相等。同理，三重积分在被积函数为1时，其几何意义才是体积。

二者的区别：

二重积分是在二维区域D上积分，假设把被积函数看做立体的高，得到的是体积；当被积函数为1即高等于1时，这个“体积”退化为面积。

三重积分是在立体区间Ω上积分，当被函数为1，即是这个区域的体积

根据二重积分的定义，当被积函数是常数时结果是这个数乘以积分区域的面积。当然积分区域假设是规范图形就好算了

二重积分经常会用到公式：

二重积分经常会用到公式I=∫dx∫（x^2+y^2）^-1/2。二重积分经常会用到公式里是二元函数在空间上的积分，同定积分类似是某种特定形式的和的极限。实质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。