球形的表面积和体积怎么算，球冠表面积计算公式推导知乎

你好，球的表面积= 4 π r² 或者是 球的表面积= π d ² （r是半径 ，d是直径，r²是半径的平方 ）

球的体积= 4/3 π r ³ 或者是 球的体积 = 1/6 π d ³ （r是半径，d是直径，d³是直径的立方 ）

第一要理解球冠的含义。

球冠是指一个球面被平面所截后剩下的曲面。

球冠只是指曲面，不涵盖截面的圆。

截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高。

球冠表面积公式S=2πRh（R为底面半径，h为高）

公式的推导需借助微积分，

详细推导过程请看下方具体内容图所示：

球冠表面积公式

假定球冠大开口部分圆的半径为 r ，对应球半径 R 相关系：r = Rc osθ，则有球冠积分表达：

球冠面积微分元 dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ

积分下限为θ，上限π/2

故此，：S = 2πR*R(1 - sinθ)

这当中：R(1 - sinθ)即为球冠的自己高度H

故此，：S = 2πRH

S=∫dS =∫2πr*Rdθ=∫ (2πR)^2*cosθ dθ=(2πR)^2∫cosθ dθ= 2πR^2(1 - sinθ)

球缺的体积公式

若球半径是R，球缺的高是h，球缺的底面半径是r，体积是V，则

V=лh^2*（R-h/3)

V=лh*(r^2/2+h^2/6)

球是圆x^2+y^2=R^2绕x轴旋转得到的几何体。

在-R≤x≤R处，垂直于x轴的弦长y=√（R^2-x^2）

这个方向取底面半径r=y,高h=dx的微元体，

则球的体积元、表面积元分别是微元体（r=y,h=dx的圆柱体）的体积和侧面积∴

dS=2πydx, dV=πy^2dx

∴S=∫(-R,R)2πydx=∫(-R,R)2π√（R^2-x^2）dx=4πR^2,

V=∫(-R,R)π(y^2)dx=∫(-R,R)π（R^2-x^2）dx=4π/3*（R^3)

设球的半径为R,球截面圆到球心的距离为x 则球截面圆的半径为√(R^2-x^2) 以x作球截面圆的面积函数再对其积分就是半球的体积 有dV=2(2(pi)(R^2-x^2)) 对其在[0,R]积分可得V=(4/3)(pi)(r^3) 这个函数积分很简单就不写过程了. 球面积相对复杂点(在积分方面) 思想还差不多 对球截面圆的周长函数积分可得球表面积 照上面,球截面圆的周长函数为2(pi)√(R^2-x^2) 对x进行[0,R]积分得到半球表面积 即dS=4(pi)√(R^2-x^2) 对dS积分,设x=R(sint),t=[0,pi/2] 则dS=4(pi)R(cost)√(R^2-(R(sint))^2)dt =4(pi)(R^2)(cost)^2dt =2(pi)(R^2)+(2(pi)(R^2)(sin2t)dt),t=[0,pi/2] 则解2(pi)(R^2)(sin2t)dt积分有2(pi)(R^2) 即得S=4(pi)(R^2)

一米直径圆球的表面积是π平方米。因为我们清楚，球体的表面积公式为S=4πR²，式中S为球体表面积，π为圆周率是一常数，R为球体半径，又因为球的直径是1米，则半径为1/2米，代入上面说的公式中得S=4×π×（1/2）²=π平方米。故此，说一米直径圆球的表面积是π平方米。

π表示圆周率，r表示半径，d表示直径，圆的表面积计算公式可以表示为：S=πr²或S=πx(d/2)²。圆是指在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线，它的周长计算公式为：C=2πr或者C=πd。

三维球体积公式 n 维球体积公式 球体表面积公式 球，圆形的立体物。指球形的体育用品，球类运动，涵盖手球、篮球、足球、排球、羽毛球、网球、高尔夫球、冰球、沙滩排球、棒球、垒球、藤球、毽球、乒乓球、台球、蹴鞠、板球、壁球、沙壶、冰壶、克郎球、橄榄球、曲棍球、水球、马球、保龄球、健身球、门球、弹球等

圆形面积公式 =π×半径×半径 S=πr²

拓展知识：

圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，大多数情况下用希腊字母π表示是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的重点值。 在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的小正实数x。

圆面积是指圆形所占的平面空间大小，经常会用到S表示。圆是一种规则的平面几何图形，其计算方式有不少种，比较常见的是开普勒的解答方式，卡瓦利里的解答方式等。

圆的平方公式：S=πr²。圆是一种几何图形。按照定义，一般用圆规来画圆。同圆内圆的直径、半径的长度永远一样，圆有大量条半径和大量条直径。圆是轴对称、中心对称图形。对称轴是直径所在的直线。