数列的基本运算，高中数学数列的定义

高中数学数列部分，学习了数列定义，分类，表示方式，数列通项公式，数列前n项和公式，重点学习了等差数列，等比数列的通项公式，前n项和公式。比如等差数列通项公式

an=a1+(n-1)*d,

该式子中有a1,an,n,d四个量，清楚任意3个可求第4个，那就是等差数列通项公式的基本运算。

未必是等差数列，比如：1、2、4、6、8、10、12、14不是等差数列假设一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列是等差数列，这个常数叫做等差数列的公差；假设一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列是等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。

是应用于数学中的公式，外文名Series formula，类型为数学名词，假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，且每一项都不为0(常数)，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比一般用字母q表示。

假设一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差一般用字母d表示。

1、大多数情况下数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)dan=ak+(n-k)d(这当中a1为首项、ak为已知的第k项)当d≠0时，an是有关n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn=

当d≠0时，Sn是有关n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是有关n的正比例式。

4、等比数列的通项公式：an=a1qn-1an=akqn-k

(这当中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1(是有关n的正比例式)；

当q≠1时，Sn=Sn=

三、高中数学中相关等差、等比数列的结论

1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等差数列。

2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则

3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则

4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等比数列。

5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{anbn}、、仍为等比数列。

7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3(为什么？)

11、{an}为等差数列，则(c0)是等比数列。

12、{bn}（bn0）是等比数列，则{logcbn}(c0且c1)是等差数列。

求数列通项公式经常会用到以下几种方式：

一、试题已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。

例子：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。

解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。故此，an=2n-1。这种类型题主要是用等比、等差数列的定义判断是较简单的基础小题。

二、已知数列的前n项和，用公式

S1(n=1)

Sn-Sn-1(n2)

例子：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5

(A)9(B)8(C)7(D)6

解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴52k-108∴k=8选(B)

这种类型题在解时要注意考虑n=1的情况。

三、已知an与Sn的关系时，一般用转化的方式，先得出Sn与n的关系，再由上面的(二)方式求通项公式。

例子：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。

解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得-=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-=-，Sn=-，

再用(二)的方式：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不合适此式，故此

-(n=1)

-(n2)

四、用累加、积累的方式求通项公式

针对题中给出an与an+1、an-1的递推式子，经常会用到累加、积累的方式求通项公式。

例子：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式

解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0

又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，故将他相乘得：∴-=-，

又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)

五、用构造数列方式求通项公式

试题中若给出的是递推关系式，而用累加、积累、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，以此得出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高中毕业考试热点，因为这个原因不仅是重点也是难点。

例子：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(-1)(an+2)，n=1,2,3,……

(1)求{an}通项公式(2)略

解：由an+1=(-1)(an+2)得到an+1-＝(-1)(an-)

∴{an-}是首项为a1-，公比为-1的等比数列。

由a1＝2得an-=(-1)n-1(2-)，于是an=(-1)n-1(2-)+-

又例子：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。

证明：这道题即证an+1-(n+1)=q(an-n)(q为非0常数)

由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，

故此，数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。

若将此问改成求an的通项公式，则仍可以通过得出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。

又例子：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略

解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=-(1-an-1)，又1-a1≠0，故此，{1-an}是首项为1-a1，公比为-的等比数列，得an=1-(1-a1)(-)n-1

高中数列基本公式：

1、大多数情况下数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (这当中a1为首项、ak为已知的第k项)当d≠0时，an是有关n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn=当d≠0时，Sn是有关n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是有关n的正比例式。4、等比数列的通项公式：an= a1qn-1an= akqn-k(这当中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1(是有关n的

数列是高二上学期正式学的主要内容，选择性必修第二册第四章。

分为四小节：数列的概念，等差数列，等比数列，数学归纳法（选学）。

小学时就接触过数列，例如找规律填数这样的习题，这一列数就是一个数列，只不过没有正式给它命名，先接触小学阶段能理解的基础部分。

数列作为高中毕业考试压轴题已经有不少年了，自然是高中的啦，不过个人认为数列不难，数列重要，要优先集中精力的就是抓住定义，答题目时灵活运用，再多做一部分，当然了，得有很好的数学功底，不少时候，他是函数的变种，到了大学你就了解了，明确的告诉你，初中，高中，大学对函数完全明显不同的，不过这些你不需要担心。