柯西乘积公式及推导，高斯公式的推导

二元柯西不等式，a，b，x，y∈R，则（a＾2＋b＾2）（x＾2＋y＾2）≥（ax＋by）＾2。证明：（a＾2＋b＾2）（X＾2＋y＾2）一（aX＋by）＾2＝a＾2y＾2＋b＾2X＾2一2abXy＝（ay－bX）＾2≥0。当且仅当ay＝bX时取等号。

是两组数列{\\displaystyle a_{n},b_{n}}的离散卷积相乘，{\\displaystyle c_{n}=\\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}，该数列乘积被觉得是自然数{\\displaystyle R[\\mathbb {N} ]}的半群环的元素。

大多数情况下地，针对实数和复数，柯西乘积定义为请看下方具体内容的离散卷积形式：

{\\displaystyle \\left(\\sum _{n=0}^{\\infty }a_{n}\☆ight)\\cdot \\left(\\sum _{n=0}^{\\infty }b_{n}\☆ight)=\\sum _{n=0}^{\\infty }c_{n},}

这里{\\displaystyle c_{n}=\\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k},\\,n=0,1,2,\\ldots }。

按照高斯型求积公式∫1-1f(x)dx≈ nr=1Arf(xr)的大代数精确度,利用正交条件推出n=3的高斯型求积公式∫1-1f(x)dx≈59f(-35)+89f(0)+59f(35)

这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。因为是对模拟信号论述的，故此，经常带有麻烦的算术推导，很简单的问题的实质经常就被一大堆公式淹没了，既然如此那，卷积究竟物理意义怎么样呢？

卷积表示为

y(n) = x(n)*h(n)

使用离散数列来理解卷积会更形象一点，我们把y(n)的序列表示成

y(0),y(1),y(2) and so on；

这是系统响应出来的信号。

同理，x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on；

能用到卷积性质来求，时域乘积的傅里叶变换等于两函数频域的卷积： FFT(f(x)g(x))=FFT(f(x))*FFT(g(x))

例如：A+B≥2√AB （这当中A.B都为正）当A+B为定值时，便可以清楚A·B的大值；当A·B为定值时，便可以清楚A+B的小值。

分配律公式：(a+b)c=ac+bc。分配律是离散信号卷积和运算经常会用到的哪些基本运算规则之一，离散序列卷和运算满足分配律，即两个序列先行相加运算再与第3个序列做卷和运算，其结果等于这两个序列分别与第3个序列先做卷和运算，然后二者再相加。

卷和运算的交换律、结合律、分配律可仿照卷积运算的交换律、结合律、分配律推导过程证明成立，这里应强调的是，结合律与分配律应用于系统分析的时候主要用来等效化简复合系统：两个子系统并联组成的复合系统，其单位序列响应等于相并两子系统单位序列响应的代数和。

离散序列卷和运算满足交换律，即两序列卷和运算与卷和次序无关。