什么是容斥原理，容斥原理公式大全讲解视频

在计数时，一定要注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，大家研究出一种新的计数方式，这样的方式的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的全部对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，让计算的结果既无遗漏又无重复，这样的计数的方式称为容斥原理。

容斥原理

容斥原理

在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，大家研究出一种新的计数方式，这样的方式的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的全部对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，让计算的结果既无遗漏又无重复，这样的计数的方式称为容斥原理。

容斥原理（1）

假设被计数的事物

有a、b两类，那么a类或b类元素个数= a类元素个数+

b类元素个数—不仅是a类又是b类的元素个数。

例题一

一次期末考试，某班有15人员数量学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，既然如此那，这个班至少有一门得满分的考生有多少人？

分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“a类元素”，“语文得满分”称为“b类元素”，“语、数都是满分”称为“不仅是a类又是b类的元素”，“至少有一门得满分的考生”称为“a类或b类元素个数”的总和。

试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都拥有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。）

容斥原理（2）

假设被计数的事物有a、b、c三类，那么a类或b类或c类元素个数= a类元素个数+

b类元素个数+c类元素个数—不仅是a类又是b类的元素个数—不仅是a类又是c类的元素个数—不仅是b类又是c类的元素个数+不仅是a类又是b类而且，是c类的元素个数。

例题二某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参与体育训练队，这当中参与足球队的有25人，参与排球队的有22人，参与游泳队的有34人，足球、排球都参与的有12人，足球、游泳都参与的有18人，排球、游泳都参与的有14人，问：三项都参与的有多少人？

分析：仿照例题一的分析，你能先说一说吗？

例题三 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不可以被3或5整除的数共有多少个？

分析：明显，这是一个重复计数问题（ 假设不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成a类元素和b类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“不仅是a类又是b类的元素”。求的是“a类或b类元素个数”。目前我们还不可以直接计算，一定要先得出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以得出其他的条件。

例题四 分母是1001的简成绩一共有多少个？

分析：这一题其实就是找分子中不可以整除1001的数。因为1001=7×11×13，故此，就是找不可以被7，11，13整除的数。

例题五

某个班的我们全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目标测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况请看下方具体内容表：

短跑游泳投掷短跑、游泳短跑、投掷游泳、投掷短路、游泳、投掷

1718156652

求这个班的学生共有多少人？

分析：这个班的学生数，应涵盖达到优秀和没有达到优秀的。

试一试：一个班有42人，参与合唱队的有30人，参与美术组的有25人，有5人什么都没有参与，求两种都参与的有多少人？

例题六

在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。假设沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

分析：很明显，要计算木棍被锯成多少段，只计算出木棍上共有多少条不一样的刻度线，在这里基础上加1就是段数了。

若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在这里木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，明显刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样另外，将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。故此我们应该按容斥原理的方式来处理此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？

容斥原理非标准公式：A+B+C只满足两条件2*A∩B∩C=总数三条件都没有满足。

A+B+C=只满足一个条件+2*只满足两条件+3*满足三条件。

二集合容斥原理的公式为：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，三集合容斥原理的实质和二集合容斥原理差不多的，只不过因为又多了一个集合，公式和图形描述都变得更复杂。

标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。

列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的

容斥原理是在计数时，一定要注意没有重复，没有遗漏。本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的全部对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，让计算的结果既无遗漏又无重复，这样的计数的方式称为容斥原理。

比如：一次期末考试，某班有15人员数量学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，既然如此那，这个班至少有一门得满分的考生有多少人。

分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“不仅是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的考生”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。

标准解释是：在计数时，一定要注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，大家研究出一种新的计数方式，这样的方式的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的全部对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，让计算的结果既无遗漏又无重复，这样的计数的方式称为容斥原理。我简单解释一下下面两个公式：

(1)两个集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B公式左边：A、B两个集合里全部的不重复的元素个数公式右边：A、B全部元素（可能有被重复计算的）减去重复的元素个数(2)三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C公式左边：A、B、C三个集合里面全部的不重复的元素个数公式右边：A、B、C全部元素个数(A+B+C)减去每两个集合重复的元素数(A∩B+B∩C+C∩A)加上三个集合重复的元素数(A∩B∩C)(A∩B+B∩C+C∩A)每两个集合重复的元素里面计算了2次A∩B∩C

容斥原理用于计算集合并集的元素个数,公式为：

n(A1+A2+……+Am)=n(A1)+n(A2)+……+n(Am)-n(A1A2)-n(A1A3)-……-n(A1Am)

-n(A2A3)-n(A2A4)-……-n(A2Am)-……-n(Am-1Am)+n(A1A2A3)+n(A1A2A4)+……

+n(Am-2Am-1Am)-……+(-1)^(m-1)*[n(A1A2……Am)]

注:n(A)表示集合A的元素个数,A+B表示A∪B,AB表示A∩B