江苏高考数学2023第14题，2020数学竞赛初赛试题

一、考试试卷剖析解读 二、亮点赏析及启示 1.坚持“突出通性通法，淡化技巧”的原则： 该题目不管是运用不等式的性质进行变形，还是运用函数思想设置新变量、确定定义域等，这些都是高中数学的基础知识和重要内容，所用的数学思想方式也都是新课标所强调的通性通法，没有说去刻意的追求技巧。

全国初中数学联合竞赛考试试卷参考答案

第一试

一、选择题：（这道题满分42分，每小题7分）

1．已知 ， ， ，既然如此那， 的大小关系是 （ C ）

A.B.C. D.

2．方程 的整数解 的组数为 （ B ）

A．3. B．4. C．5. D．6.

3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ D ）

A．B． C． D．

4．已知实数 满足 ，则 的小值为 （ B ）

A． . B．0. C．1.D． .

5．若方程 的两个不相等的实数根 满足 ，则实数 的全部可能的值之和为 （ B ）

A．0.B． . C． . D． .

6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数 （数字可重复使用），要求满足 .这样的四位数共有 （ C ）

A．36个. B．40个. C．44个. D．48个.

二、填空题：（这道题满分28分，每小题7分）

1．已知互不相等的实数 满足 ，则 ．

2．让 是完全平方数的整数 的个数为 1 ．

3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则 ＝ ．

4．已知实数 满足 ， ， ，则 ＝ ．

第二次考试 （A）

一、（这道题满分20分）已知直角三角形的边长都是整数，周长为30，求它的外接圆的面积.

解 设直角三角形的三边长分别是 （ ），则 .

明显，三角形的外接圆的直径即为斜边长 ，下面先求 的值.

由 及 得 ，故此， .

由 及 得 ，故此， .

又因为 为整数，故此， .

按照勾股定理可得 ，把 代入，化简得 ，故此，

，

因为 都是整数且 ，故此，只可能是 解得

故此直角三角形的斜边长 ，三角形的外接圆的面积为 .

二．（这道题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明： .

证明：连接OA，OB，OC.

∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得 ， .

又由切割线定理可得 ，∴ ，∴D、B、C、O四点共圆，

∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，

∴ ，∴ .

三．（这道题满分25分）已知抛物线 的顶点为P，与 轴的正半轴交于A 、B （ ）两点，与 轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M ，若AM//BC，求抛物线的剖析解读式.

解 易求得点P ，点C .

设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为 .

明显， 是一元二次方程 的两根，故此， ， ，又AB的中点E的坐标为 ，故此，AE＝ .

因为PA为⊙D的切线，故此，PA⊥AD，又AE⊥PD，故此，由射影定理可得 ，即 ，又易知 ，故此，可得 .

又由DA＝DC得 ，即 ，把 代入后可解得 （另一解 舍去）.

又因为AM//BC，故此， ，即 .

把 代入解得 （另一解 舍去）.

因为这个原因，抛物线的剖析解读式为 .

第二次考试 （B）

一．（这道题满分20分）已知直角三角形的边长都是整数，周长为60，求它的外接圆的面积.

解 设直角三角形的三边长分别是 （ ），则 .

明显，三角形的外接圆的直径即为斜边长 ，下面先求 的值.

由 及 得 ，故此， .

由 及 得 ，故此， .

又因为 为整数，故此， .

按照勾股定理可得 ，把 代入，化简得 ，故此，

，

因为 都是整数且 ，故此，只可能是 或

解得 或

当 时， ，三角形的外接圆的面积为 ；

当 时， ，三角形的外接圆的面积为 .

二．（这道题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB.

证明：连接OA，OB，OC，BD.

∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得

， .

又由切割线定理可得 ，

∴ ，∴D、B、C、O四点共圆，

∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，

∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD， ∴ ，

∴ ，∴ .

又∠BDA＝∠BDP＋90°＝∠ODC＋90°＝∠ADC，∴△BDA∽△ADC，

∴∠BAD＝∠ACD，∴AB是△ADC的外接圆的切线，∴∠BAE＝∠ACB.

三．（这道题满分25分）试题和解答与（A）卷第三题一样.

第二次考试 （C）

一．（这道题满分20分）试题和解答与（B）卷第一题一样.

二．（这道题满分25分）试题和解答与（B）卷第二题一样.

三．（这道题满分25分）已知抛物线 的顶点为P，与 轴的正半轴交于A 、B （ ）两点，与 轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移 个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且∠QBO＝∠OBC.求抛物线的剖析解读式.

解 抛物线的方程即 ，故此，点P ，点C .

设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为 .

明显， 是一元二次方程 的两根，故此， ， ，又AB的中点E的坐标为 ，故此，AE＝ .

因为PA为⊙D的切线，故此，PA⊥AD，又AE⊥PD，故此，由射影定理可得 ，即 ，又易知 ，故此，可得 .

又由DA＝DC得 ，即 ，把 代入后可解得 （另一解 舍去）.

将抛物线 向左平移 个单位后，得到的新抛物线为

.

易求得两抛物线的交点为Q .

由∠QBO＝∠OBC可得 ∠QBO＝ ∠OBC.

作QN⊥AB，垂足为N，则N ，又 ，故此，

∠QBO＝ ＝

.

又 ∠OBC＝ ，故此，

.

解得 （另一解 ，舍去）.

因为这个原因，抛物线的剖析解读式为 .

10月17日。

主观题考试时间共四个小时，为早上9:00启动，13:00结束。

法律职业资格主观题考试，除情况特殊外，都实行计算机考(使用电脑作答)试。考试试卷、题目作答要求和题目作答界面均在电脑屏幕上显示。参加本次考试人员需要使用电脑鼠标及键盘在计算机题目作答界面上直接答题。