e的x次方泰勒公式，e的x次方的泰勒公式

e的x次方泰勒展开式是

f（x）=e^x= f（0）+ f′（0）x+ f″（0）x ²/ 2!+...+ fⁿ（0）x^n/n!+Rn(x）=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x）。

幂级数的求导和积分可以逐项进行，因为这个原因求和函数相对比较容易。一个剖析解读函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数通过剖析解读延拓得到的函数，并让复分析这样的手法可行。泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

e^(-x)

＝∑(0→+∞){[(-x)^n]/(n!)}

e的x次方在x0=0的泰勒展开式是1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x) 。 泰勒公式,是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数满足一定的条件,泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒：

布鲁克·泰勒（英语：Brook Taylor，1685年8月18日－1731年11月30日）出生于英格兰密德萨斯埃德蒙顿，逝世于伦敦是一名英国数学家，他主要以泰勒公式和泰勒级数出名。8世纪早期英国牛顿学派优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685年（乙丑年）8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。

计算过程请看下方具体内容：

因为：e^(x)=∑(0,+∞)x^n/n!

故此，：e^(x^2)=∑(0,+∞)(x^2)^n/n!

=∑(0,+∞)(1)^n*x^(2n)/n!

假设函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

扩展资料：

泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，因为多项式函数可以任意次求导，易于计算，且方便解答极值或者判断函数的性质，因为这个原因可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，针对这样的近似，一定要提供误差分析，来提供近似的可靠性

在对函数进行局部线性化处理经常用的公式之一。从几何上看，它是用切线近似代替曲线。然而这样的近似是比较粗糙的，而且，只在点的附近才有近似意义。

为了改善上面说的不够，让近似替代更精密，数学家们在柯西中值定理的基础上，推导出了泰勒中值定理（泰勒公式）。

麦克劳林公式是泰勒公式在x。=0下的一种特殊形式, f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)/2!·x^2,+f(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn.这里之故此，可以直接替换是因为可以把x2看做一个整体y，e的y次才可以以根据常见方法展开，而且，x的零点就是y的零点，这样保证了右边也还是是x的n次方求和的形式。

有部分情况不可以直接带进是因为当成整体变量的部分用新变量y代替后，它的零点y=0与x=0是不完全一样的。

例如e的x+1次方，就不可以把x+1带进到e的x次方的展开式中。

因为x=0处e^x的泰勒公式为e^x=1+x+x^2/2+...，而x趋于∞时1/x趋于0，故e^(1/x)=1+(1/x)+(1/2)(1/x^2)+...，e^(1/x)-1=(1/x)+(1/2)(1/x^2)+...，而1/x^n都趋于0，故lim[e^(1/x)-1]=0。

1、e的x次方在x0=0的泰勒展开公式是1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x），解答过程请看下方具体内容：

把e^x在x=0处展开得：

f（x）=e^x

= f（0）+ f′（0）x+ f″（0）x ²/ 2!+...+ fⁿ（0）x^n/n!+Rn(x）

=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x）

这当中 f（0）= f′（0）=...= fⁿ（0）=e^0=1。

假设f（x）在点x=x0具有任意阶导数，则幂级数

称为f（x）在点x0处的泰勒级数。（图解请看下方具体内容）

2、拓展资料：

一、泰勒公式：

数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实质上的函数值当中的偏差。

二、泰勒公式的重要性:

幂级数的求导和积分可以逐项进行，因为这个原因求和函数相对比较容易。

一个剖析解读函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的剖析解读函数，并让复分析这样的手法可行。

泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

证明不等式。

求还未确定式的极限。

三、公式应用

实质上应用中，泰勒公式需截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这样的近似的误差

e的x次方在x0=0的泰勒展开式是：

1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x）

解答过程请看下方具体内容：

把e^x在x=0处展开得：

f（x）=e^x= f（0）+ f′（0）x+ f″（0）x ²/ 2!+...+ fⁿ（0）x^n/n!+Rn(x）=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x）

这当中 f（0）= f′（0）=...= fⁿ（0）=e^0=1。

假设f（x）在点x=x0具有任意阶导数，则幂级数称为f（x）在点x0处的泰勒级数。

小知识：

泰勒公式

泰勒公式，应用于数学、物理领域是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实质上的函数值当中的偏差。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里第一次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年以前，先提出了带有余项的目前形式的泰勒定理。

先把ln（1+x）/x用泰勒展开后面是趋向于1的，故此，提一个e的一次方出来，然后剩下一个e^ 多项式，这个时候这个多项式是趋向于0的，可直接用e^x的泰勒公式进行展开，再乘之前面提出去的e就是 原式的答案

经常会用到麦克劳林公式请看下方具体内容：

1，sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-…＋（－1)^nx^(2n+1)/(2n+1)!+0^(x^(2n+2))。

2、cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+…＋（－1）＾nx^2n/(2n)!+0^(x^2n)。

3、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-…＋（－1)^nx^(n+1)/(n+1)+0(x^(n+1))。

4、1/(1-x)=1+x+x^2+…＋x^n+0(x^n)。

5、（1+x)^m=1+mx+m(m-1)/2!x^2+…＋m(m-1)…（m-n-+1)x^n/n!+0(x^n)。

6、e^x=1+x+x^2/2!+…x^n/n!+e^θx·x^(n+1)/(n+1)!

7、1/(1+x)=1+x+x^2+x^3+…＋x^n(x∈（－1,1))。

8、tanx=x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+…＋（－1)^(n-1)2^2n(2^2n-1)/(2n)!

9、secx=1+x^2/2+5x^4/24+61x^6/720+277x^8/8064+o(x^8)。

10、coshx=1+x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!+…＋x^2n/(2n)!

麦克劳林简介

麦克劳林，Maclaurin(1698-1746)是18世纪英国具有影响的数学家之一。

1719年Maclaurin在访问伦敦时见到了Newton，从此便成为了Newton的门生。

1742年撰写名著《流数论》是早为Newton流数方式做出了系统逻辑阐述的著作。他以熟练的几何方式和穷竭法论证了流数学说，还把级数作为求积分的方式，并独立于Cauchy以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式，并用还未确定系数法给予证明。