三角函数和差公式推导过程，如何推导和差角公式

正弦三角函数和差公式为正余弦交叉相乘再相加。

两角和差公式推导：sinA+sinB=sin[(A+B)/2+(A-B)//2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]=(sinxcosy+cosxsiny)+(sinxcosy-cosxsiny)=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]。

两角和差公式涵盖两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。两角和与差的公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式全部在此公式基础上变形得到的。将前两式相除，即得对应的正切公式。在已知两条边长还有它们夹角的度数，或是两个角的度数还有一条边长，或是清楚三边长度后，使用这些法则可以计算出其他角和边。

两角差的余弦公式是cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。

两角和（差）公式涵盖两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。两角和与差的公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式全部在此公式基础上变形得到的。

余弦（余弦函数），三角函数的一种。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可以写为cosa=AC/AB。余弦函数：f(x)=cosx（x∈R）

　　利用欧拉公式 　　　e^(ix) = cosx+i*sinx 令 x=a+b，得 　　　cos(a+b)+i*sin(a+b) = e^[i(a+b)] = e^(ia)*e^(ib) 　　= (cosa+i*sina)(cosb+i*sinb) 　　= cosacosb-sinasinb+i*(sinacosb+sinbcosa) 故此， 　　　cos(a+b) = cosacosb-sinasinb， 　　 sin(a+b) = sinacosb=sinbcosa。

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。

解释：

（1）积化和差后的结果是和或者差；

（2）若两项相乘，后者为cos项，则积化和差的结果为两项相加；若不是，则结果为两项相减；

（3）若两项相乘，一项为sin，另一项为cos，则积化和差的结果中都是sin项；

（4）若两项相乘，两项都是sin，则积化和差的结果前面取负号。

积化和差公式是：

sinαcosβ=【sin(α+β)+sin(α-β)】/2

cosαsinβ =【sin(α+β)-sin(α-β)】/2

sinαsinβ=【cos(α-β)-cos(α+β)】/2

cosαcosβ=【cos(α+β)+cos(α-β)】/2

和差化积还有积化和差公式的推导很简单。

sin(α+β)、sin(α-β)、cos(α+β)、cos(α-β)

这样的基本的三角函数展开公式，就可以轻松掌握并熟悉8个公式的推导。



和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sin（α＋β）/2·cos（α－β）/2

sinα－sinβ＝2cos（α＋β）/2·sin（α－β）/2

cosα＋cosβ＝2cos（α＋β）/2·cos（α－β）/2

cosα－cosβ＝－2sin（α＋β）/2·sin（α－β）/2

公式一：

设α为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值当中的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值当中的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值当中的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值当中的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α与α的三角函数值当中的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

针对k•π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，

（1）当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

（2）当k是奇数时，得到α对应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot,cot→tan.

（奇变偶不变）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）

比如：

sin(2π－α)＝sin(4•π/2－α)，k＝4为偶数，故此，取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。

故此，sin(2π－α)＝－sinα

上面说的的记忆口诀是：

奇变偶不变，符号看象限。

公式右边的符号为把α默认为锐角时，角k•360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α

所在象限的原三角函数值的符号可记忆

水平诱导名不变；符号看象限。

各自不同的三角函数在四个象限的符号如何判断，也可记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；

第二象限内唯有正弦是“＋”，其余都是“－”；

第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；

第四象限内唯有余弦是“＋”，其余都是“－”．

上面说的记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦

其他三角函数知识：

同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα •cotα＝1

sinα •cscα＝1

cosα •secα＝1

商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：

构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；

（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。

（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tana+tanB

tan（α＋β）＝---

1－tanα •tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝---

1＋tanα •tanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝--—

1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝--—

2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝--—

2

1－cosα

tan^2(α/2)＝--—

1＋cosα

万能公式

⒌万能公式

2tan(α/2)

sinα＝---

1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝---

1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝---

1－tan^2(α/2)

万能公式推导

附推导：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα/(1＋tan^2(α))

然后用α/2代替α就可以。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可以通过正弦比余弦得到。

三倍角公式

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

3tanα－tan^3(α)

tan3α＝---

1－3tan^2(α)

三倍角公式推导

附推导：

tan3α＝sin3α/cos3α

＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα

＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα

＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)

＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα

＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))

＝4cos^3(α)－3cosα

即

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

三倍角公式联想记忆

记忆方式：谐音、联想

正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，故此，要“挣钱”(音似“正弦”)）

余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完后面还有“余”）

☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋β α－β

sinα＋sinβ＝2sin—-•cos—-

　 　2 2

α＋β α－β

sinα－sinβ＝2cos—-•sin—-

2 2

　 　α＋β α－β

cosα＋cosβ＝2cos—--•cos—--

2 2

α＋β α－β

cosα－cosβ＝－2sin—--•sin—--

2 2

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式

sinα •cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα •sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα •cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinα •sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

和差化积公式推导

附推导：

第一,我们清楚sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

故此，,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还清楚cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

故此，,把两式相加,我们完全就能够得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

故此，我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只要能一个变形,完全就能够得到和差化积的四个公式.

我们把上面说的四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,既然如此那，a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示完全就能够得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)