正四面体内切圆和外接圆体积怎么算，为什么正四面体的内切球和外接球半径

假设：正四面体的边长为√2a，则这个正四面体可以看成是由边长为a的正方体切割出来的。

1、正四面体的外接球半径R就是正方体对角线的2分之1，则R=(1/2)√3a，

2、正四面体的内切球半径为r，则利用体积，得：

(1/3)a³=(1/3)×[4×(√3/4)×(2a²)]×r

得：r=[1/(2√3)]a

则半径之比是1：3，则体积之比是1：27

需要说要求正四面体的内切球和外接球的体积。把内切球和外接球的半径得出就可以得出它们的体积了。因为正四面体的特殊性，内切球和外接球的球心是一样的，都在正四面体的高线上，并把高线分成1:32个部分，这2个部分长的部分就是外接球的半径，短的部分就是内切球的半径，而且，两者的半径相加就等于正四面体的高线，外接球半径:内切球半径是3:1（这个可由正四面体的特殊性得出，这里不详细证明）。

设正四面体的棱长为a,高线为h，外接球半径为R,内切球半径为r。

可用勾股定理得出h=√6/3a，既然如此那，R=3/4h=√6/4a, r=1/4h=√6/12a。

然后再按照球体积V=4/3πr³这个公式得出各自的体积就行了。

正四面体四个面都是正三角形，过定点作高，按照对称性外接球圆心在高所在直线上。

确定了圆心 通过两个勾股定理方程可以得出半径R和高外接圆体积V等于三分之4πR的立方。高得出来可以算出四面体的体积。而内切球把四面体分成4个三棱锥，通过等体积法可以得出半径 r，同样通过球的体积公式得出内切圆体积。

正四面体棱长a内切球体积=4π（根号3*a/6）³/3=a³根号3/54外接球体积=4π（根号3*a/3）³/3=4a³根号3/27

设正四面体S-ABC，高SH，这当中H是底面三角形ABC的外（内、重、垂）心，连结AH，在平面SAH上作SA垂直平分线，交SH于O，则O是内切（外接）球心， 设棱长为a,AH=a（√3/2）*（2/3）=a√3/3, SH=√[a^2-(a√3/3)^2=a√6/3, △SMO∽△SHA，设外接球半径=R，内切球半径=r, SM*SA=SO*SH，a^2/2=R*a√6/3, R=a√6/4, r=SH-SO=a√6/3-a√6/4=a√6/12.

1、外接球。

边长为a的正四面体可以看成是边长是(√2/2)a的正方体截出来的，则其外接球直径是正方体边长的√3倍。

2、内切球半径。

设正四面体是S－ABC，过点S作高线SH交底面ABC于点H，则内切球球心在SH上，设其半径是R，则主要就出现四个四面体：O－SAB、O－SBC、O－SCA、O－ABC，这四个四面体的高都是内切球的半径R，底面都是以a为边长是正三角形，利用等体积法可以得出内切球半径R的值。

设棱长a,一个面上的正三角形中,得出一个射影√3/3a,是底面三角形外接圆半径，正四面体其高h,h=√6/3a,球半径R=√6/4a,外接球半径与棱长比为:√6/4,同理球心至底面距离：

√6/3a-√6/4a=√6/12a,内切球与棱长比为√6/12.

棱长为a的正四面体，内切球半径及外接球半径的大小为：

内切球半径r=(√6/12)a，外接球半径R=(√6/4)a。正四面体外接球球心与内切球球心是在同一点上，而这一点是四面体这当中两平面作垂线的交点O。可用截面方式得出垂线长度h为三分之根号6倍a。然后把四面体看成由四个相等的小三棱锥（交点O出发向四面体的三个顶点引出三条线，把四面体分成四份，每份为一个小三棱锥）从所合成的。利用等体积法，四个小三棱锥的体积等于四面体的体积可比较容易得出小三棱锥的高，三棱锥的高即内切球半径，h减去内切球半径即外接球半径。

就可得出答案了。

内切球半径为12分之根号6倍a；外接球半径4分之根号6倍a。 正四面体外接球球心与内切球球心是在同一点上，而这一点是四面体这当中两平面作垂线的交点O。可用截面方式得出垂线长度h为三分之根号6倍a。然后把四面体看成由四个相等的小三棱锥（交点O出发向四面体的三个顶点引出三条线，把四面体分成四份，每份为一个小三棱锥）从所合成的。利用等体积法，四个小三棱锥的体积等于四面体的体积可比较容易得出小三棱锥的高，三棱锥的高即内切球半径，h减去内切球半径即外接球半径。