标准正态分布计算公式，正态分布标准化公式推导

正态分布标准转化公式：F(x)=Φ[(x-μ)/σ]，标准正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0，尺度参数：标准差为1的正态分布。

正态分布标准化的公式：Y=（X-μ）/σ～N（0，1）。

证明；因为X～N（μ，σ^2），所以P（x）=（2π）^（-1/2）*σ^（-1）*exp{[-（x-μ）^2]/（2σ^2）}。

注：F（y）为Y的分布函数，Fx（x）为X的分布函数。

而F（y）=P（Y≤y）=P（（X-μ）/σ≤y）=P（X≤σy+μ）=Fx（σy+μ）。

所以p（y）=F（y）=Fx（σy+μ）*σ=P（σy+μ）*σ=[（2π）^（-1/2）]*e^[-（x^2）/2]。从而，N（0，1）。正态分布标准化的意义是可以方便计算，是一种统计学概念。

原本的正态分布图形有高矮胖瘦不同的形态，实际上是积分变换的必然结果，就好比是：

1.y=kx+b直线，它不一定过原点的，但是通过变换就可以了：大Y=y-b；大X=kx；===大Y=大X。

2.y=a*b乘积，通过变换就可以变成加法运算：Ln（y）=Lna+Lnb。

3.y=ax²+bx+c通过变换就可以变成标准形式：y=a（x+b/（2a））²+（c-b²/（4a））。

正态分布的标准化也只不过是“积分变换”而已，虽然高矮胖瘦不同的形态，但是变量的线性伸缩变换并不改变其量化特性，虽然标准化以后都变成期望是0，方差是1的标准分布了，但这种因变量自变量的依赖关系仍然存在，不用担心会“质变”。

正态分布标准化的公式：Y=（X-μ）/σ～N（0，1）。证明；因为X～N（μ，σ^2），所以P（x）=（2π）^（-1/2）*σ^（-1）*exp{[-（x-μ）^2]/（2σ^2）}。注：F（y）为Y的分布函数，Fx（x）为X的分布函数。而F（y）=P（Y≤y）=P（（X-μ）/σ≤y）=P（X≤σy+μ）=Fx（σy+μ）。所以p（y）=F（y）=Fx（σy+μ）*σ=P（σy+μ）*σ=[（2π）^（-1/2）]*e^[-（x^2）/2]。从而，N（0，1）。正态分布标准化的意义是可以方便计算，是一种统计学概念。

求期望：ξ

期望：Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn

方差：s? 方差公式：s?1/n[(x1-x)?(x2-x)?……+(xn-x)瞉

注：x上有“-”

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

正态分布标准化公式

因为X ～ N(μ, σ^2), Y =(X- μ)/ σ 所 以

P(x)=(2 π )-^1(/2 )* σ ^- 1( )*exp{[-(x- μ )^2]/(2 σ。^2)}

其中 F(y)为Y 的 分布函数 ，F (x)为X 的分布函数。

而 F(y)=P(Y ≤ y)=P((X -μ)/ σ≤ y)=P(X≤ σy+μ)=Fx( σ所y+以μ)

p(y)=F'(y)=F'x( σ y+μ )* σ =P( σ y+μ )* σ

=[(2 π )^-1(/2)]*e^[- （ y^2)/2]

从而 Y～N(0,1) 。

正态分布标准差σ计算公式σ=√{Σ(i：1→n)(xi-E)²/n}。正态分布也称“常态分布”，又名高斯分布。早由棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

X~N(μ，σ²)：一般正态分布：均值为μ、方差为σ²；

P(μ-σxμ+σ)=68.3%

P(μ-2σxμ+2σ)=95.4%

P(μ-3σxμ+3σ)=99.73%

2) t ~ N(0，1)：标准正态分布：均值为0、方差为1；

P(-1x1)=68.3%

正态分布标准化的公式：Y=（X-μ）/σ～N（0，1）。

证明；因为X～N（μ，σ^2），所以P（x）=（2π）^（-1/2）*σ^（-1）*exp{[-（x-μ）^2]/（2σ^2）}。

注：F（y）为Y的分布函数，Fx（x）为X的分布函数。

而F（y）=P（Y≤y）=P（（X-μ）/σ≤y）=P（X≤σy+μ）=Fx（σy+μ）。

所以p（y）=F（y）=Fx（σy+μ）*σ=P（σy+μ）*σ=[（2π）^（-1/2）]*e^[-（x^2）/2]。从而，N（0，1）。正态分布标准化的意义是可以方便计算，是一种统计学概念。

原本的正态分布图形有高矮胖瘦不同的形态，实际上是积分变换的必然结果，就好比是：

1.y=kx+b直线，它不一定过原点的，但是通过变换就可以了：大Y=y-b；大X=kx；===大Y=大X。

2.y=a*b乘积，通过变换就可以变成加法运算：Ln（y）=Lna+Lnb。

3.y=ax²+bx+c通过变换就可以变成标准形式：y=a（x+b/（2a））²+（c-b²/（4a））。

正态分布的标准化也只不过是“积分变换”而已，虽然高矮胖瘦不同的形态，但是变量的线性伸缩变换并不改变其量化特性，虽然标准化以后都变成期望是0，方差是1的标准分布了，但这种因变量自变量的依赖关系仍然存在，不用担心会“质变”。

正态分布标准转化公式：F(x)=Φ[(x-μ)/σ]，标准正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0，尺度参数：标准差为1的正态分布。

连续性变数的一种重要的理论分布。又称高斯（Gauss）分布。正态分布具有μ和σ两个参数，一般简记为N（μ，σ2）。

正态分布的方程，即其概率密度函数fN（x）为：

而累积函数FN（x）则为：

正态分布函数密度曲线可以表示为：称x服从正态分布，记为X~N(m,s2)，其中μ为均值，s为标准差，X∈（-∞，+ ∞ )。标准正态分布另正态分布的μ为0，s为1。

扩展资料，正态分布符号定义，若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为的高斯分布，记为N(μ，)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。正态分布有两个参数，即均数（μ）和标准差（σ）。

μ是位置参数，当σ固定不变时， μ越大，曲线沿横轴,越向右移动；反之， μ越小，则曲线沿横轴,越向左移动。是形状参数，当μ固定不变时，σ越大，曲线越平阔；σ越小，曲线越尖峭。通常用表示标准正态分布。正态分布公式都不会出现a、b，只会出现均值μ和方差σ^2。二项分布即n次独立的伯努利试验的成功次数服从的分布。（每次试验，成功的概率都为p, 0

ex和dx的公式：DX=E（X^2-2XEX+（EX）^2）。D（X）指方差，E（X）指期望。方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。

正态分布标准化公式

因为X ～ N(μ, σ^2), Y =(X- μ)/ σ 所 以

P(x)=(2 π )-^1(/2 )* σ ^- 1( )*exp{[-(x- μ )^2]/(2 σ。^2)}

其中 F(y)为Y 的 分布函数 ，F (x)为X 的分布函数。

而 F(y)=P(Y ≤ y)=P((X -μ)/ σ≤ y)=P(X≤ σy+μ)=Fx( σ所y+以μ)

p(y)=F(y)=Fx( σ y+μ )* σ =P( σ y+μ )* σ

=[(2 π )^-1(/2)]*e^[- （ y^2)/2]

从而 Y～N(0,1) 。

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