反常积分四个常用公式，反常积分收敛的柯西判别法

时间:2023-04-17来源:华宇考试网作者:法律职业资格考试报名条件法考培训课程

反常积分四个经常会用到公式？

反常积分经常会用到公式是I＝(0，∝)∫[e^(-x^2)]dx。

定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。但是在实质上应用和理论研究中，还会碰见一部分在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需考虑类似于定积分的问题。

因为这个原因，有必要对定积分的概念加以推广，促使其能适用于上面说的两类函数。这样的推广的积分，因为它异于一般的定积分，故称之为广义积分，也称之为反常积分。

反常积分的应用

在形式上，将无穷大(正负无穷大)、瑕点直接默认为定积分上下限，定积分的计算思路与方式(如换元法、分部积分法等)和性质(如线性运算性质、积分对积分区间的可加性、保号性、保序性等)直接适用于两类反常积分的计算。

不过求对应的函数值时为求极限值。若在同一积分式中产生两类反常积分，可以通过分割区间故将他分割为两类积分分别讨论，唯有两类积分都收敛时原积分才收敛。这当中c(acb)为函数f(x)的瑕点. 注意其与大多数情况下反常积分的区别，其收敛仅仅为大多数情况下反常积分的情况特殊。

大多数情况下反常积分两个极限变量为独立变化过程，主值意义下的反常积分为同步变化。故此，主值意义下反常积分存在不等于大多数情况下意义下反常积分收敛，但大多数情况下意义下反常积分收敛，则主值意义下反常积分存在

反常积分柯西收敛判别法？

判断反常积分的收敛有比较判别法和Cauchy判别法。

定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。但是在实质上应用和理论研究中，还会碰见一部分在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需考虑类似于定积分的问题。因为这个原因，有必要对定积分的概念加以推广，促使其能适用于上面说的两类函数。

反常积分存在时的几何意义是函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。

判断反常函数的敛散性？

反常积分的敛散性判别是：只要研究被积函数自己的性态，就可以知其敛散性。它不仅比传统的判别法更精细，而且，不要了传统判别法需找寻参照函数的困难。

反常积分的判敛法，主要考核三类：直接计算法，比较判敛法的极限形式，极限审敛法。

直接计算法（或称定义法）

即通过直接计算反常积分来判断敛散性。若反常积分能计算出一个详细数值，则收敛，不然发散。此种方式合适被积函数的原函数容易求得时的反常积分敛散性的判别。

反常积分判敛需灵活运用，假设一个方式走不通，就要尝试另外两种的方式。对常见的反常积分，还有等价无穷小代换，也需很熟悉。

反常积分的敛散性是什么？

反常积分的敛散判断实质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。第一要记住两类反常积分的收敛尺度：

对第一类无穷限来说，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，还无穷小的阶次不可以低于某一尺度，才可以保证收敛；

对第二类无界函数来说，当x→a+时，f(x)必为无穷大。且无穷小的阶次不可以高于某一尺度，才可以保证收敛；这个尺度值大多数情况下等于1，注意识别反常积分。

1、定义法求积分值与判断积分的敛散性定义法计算反常积分及判断反常积分的收敛性的依据：定积分的计算与积分结果求极限即第一通过将无穷限的反常积分转换为有限区间上的定积分和将无界函数的反常积分转换为有界函数的定积分计算；然后对积分结果求极限；后按照极限的存在性和极限值来计算得到反常积分的值或者判断反常积分的敛散性。 2、反常积分收敛性的判断方式判断方式对照正项常值级数收敛性判断的比较审敛法与相类似的结论：p-积分与q-积分 (1)无穷区间上的反常积分收敛性判断方式的比较审敛法，根据p-积分的结论 (2)无界函数的反常积分收敛性判断方式的比较审敛法，根据q-积分的结论【注1】针对同时包含两类反常积分的积分，借助积分对积分区间的可加性，分别转换为两类反常积分计算积分值或判断积分的收敛性。【注2】针对一个反常积分转换为哪些基本的反常积分进行收敛性的判断时，值得注意的是，只要一项积分发散，则整个积分发散。【注3】反常积分同样可以使用“偶倍奇零”化简积分计算，注意可以使用的前提是反常积分收敛。