微分方程常数变易法，高等数学用常数变易法求通解求详细过程的方法

微分方程常数变易法？

常数变易法是解答微分方程的一种非常的重要的方式,常应用于一阶线性微分方程的解答。数变易法中，将常数C换成u(x)完全就能够得到非齐次线性方程的通解。

用u(x)代替C后，既能满足齐次方程，又能产出非齐次项，故一定可以找到适合的u(x)，让它由微分算子运算后得到原微分方程的非齐项，因为这个原因原微分方程的通解都可以写成y2=u(x)y1(x)；

（y1(x)是与它对应的齐次方程的通解）

高等数学，用常数变易法求通解，求具体过程？

先解齐次方程 dy/dx = 2y/(x+1)， 分离变量得 dy/y = 2dx/(x+1)则 lny = 2ln(x+1)+lnC, y = C(x+1)^2.非齐次方程的解可设为 y = C(x)(x+1)^2代入非齐次方程得 C'(x)(x+1)^2 + 2C(x)(x+1) - 2C(x)(x+1) = (x+1)^(5/2)即 C'(x) = (x+1)^(1/2), C(x) = (2/3)(x+1)^(3/2) + C1于是非齐次方程的通解是 y = (x+1)^2[(2/3)(x+1)^(3/2) + C1]

清楚三个特解怎么求微分方程？

可以求得因为求微分方程的特解是指在已知已有的通解的情况下，通过给定的初值条件得到特定的解。在解答特解时，可以通过还未确定系数法、常数变易法、拉普拉斯变换等数学方式来处理。这些方式都是根据解答线性微分方程的基本思想和技巧，因为这个原因可以得到三个特解。不少微分方程的详细解法都需根据实质上问题来进行详细推导和分析，比如生物学、物理学中的应用等。因为这个原因，在深入研究微分方程时，需对不一样领域的问题进行交叉学科的综合应用，才可以更好地理解和掌握并熟悉微分方程的理论和应用。

1. 特解的形式为y=ax+b，解答微分方程的途中，通过代入y=ax+b的形式，得到a、b的值，以此得到特解。

2. 特解的形式为y=e^(ax)，解答微分方程的途中，也是通过代入y=e^(ax)的形式，得到a的值，以此得到特解。

3. 特解的形式为y=x^(n)，解答微分方程的途中，也是通过代入y=x^(n)的形式，得到n的值，以此得到特解。

解释因素：

这些特解都是微分方程的成分，特解的形式和微分方程相关。特解的解答方式即是将特定的形式代入微分方程解答。因为特解的形式是给定的，故此，针对不一样的微分方程，其特解的形式也不一样。

内容延伸：

针对某些特殊的微分方程，还能用到常系数线性非齐次方程的方式来解答。马上就要微分方程转化为对应的常系数线性非齐次方程，然后通过特解的公式解答。

详细步骤：

1. 找到微分方程的通解；

2. 按照试题给出的条件，将特定的形式代入得到特解；

3. 将通解和特解相加即为微分方程的大多数情况下解。

可以通过以下三个步骤求微分方程的特解：1. 代入常数特解：按照微分方程的形式，可以代入一个常数作为特解，然后通过求导等方法验证是不是成立。假设成立，则得到了一个特解；2. 代入指数特解：假设常数特解不可以得到特解，可以尝试代入指数函数，其形式为e^（ax），这当中a为还未确定系数。同样，通过一定的求导等方法验证是不是成立，以此得到指数特解；3. 代入三角函数特解： 假设上面说的两种方法仍不可以得到特解，可以尝试代入三角函数，如sin（ax）或cos（ax），这当中a为还未确定系数。同样，通过求导等方法验证是不是成立，以此得到三角函数特解。以上三个特解可组合使用，以得到微分方程的完整解。

清楚三个特解可以通过配方式来求微分方程。第一，将微分方程写成特点方程的形式，然后按照根的情况分类讨论：若方程的特点根为实不相等根，则可得到三个不一样的特解；若特点根为实相等根，则可得到两个一样的特解和一个不一样的特解；若特点根为虚根，则可得到一个实的特解和复共轭的两个特解。通过解答特点方程和分类讨论，我们就可以够求得微分方程的三个特解。

y-y-2y=e^x-2xe^x。

某二阶线性非齐次微分方程的三个解:

y1=xe^x,,,,,y2=xe^x+e^-x,,,,y3=xe^x+e^2x-e^-x

既然如此那，y2-y1=e^-x,y3-y2=e^2x是二阶线性齐次微分方程的两个解:，故二阶线性齐次微分方程的特解C1e^-x+C2e^2x，-1,2是特点根，二阶线性齐次微分方程为：y-y-2y=0

设y-y-2y=f(x),y1=xe^x是解，代入得：

f(x)=2e^x+xe^x-xe^x-e^x-2xe^x=e^x-2xe^x

所求非齐次微分方程：y-y-2y=e^x-2xe^x

简介

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程相关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以处理不少与导数相关的问题。

物理中不少涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，不少可以用微分方程解答。除开这点微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都拥有应用。

将三个特解两两相减完全就能够得到该线性齐次微分方程的通解.然后,取这当中的两个,在每一个以前乘上一个任意常数,相加后另外，一个三个特解中的任意一个

方程组的特解怎么获取？

方程组的特解可以通过代入法来获取。第一，将方程组中的未知数都替换成要求的特解的值，然后代入方程组中，计算出方程组的左右两边的值是不是相等。假设相等，则这个特解是方程组的解。假设不相等，还需重新选择特解进行代入，直到找到满足方程组的特解为止。除开这点也可通过高斯消元法、克莱姆法则等方式来解答方程组特解。

方程组的特解可以采取特殊方式来求得。第一需将方程组转化成矩阵方程形式，然后使用求逆或高斯消元等方式解答系数矩阵的逆矩阵或者解出增广矩阵，马上利用所得解代入原方程组中求得特解。这样可以得到特解的详细数值。同时，需要大家特别注意的是，特解依然不会代表通解，方程组可能仍有其他解，需进一步验证。

方程组的特解可以通过代入法来获取。因为方程组的通解等于它的特解加上它的齐次方程的通解，而特解是满足非齐次方程的一个特定解，故此，需按照方程组的形式，选择适合的特解方式进行解答，后代入原方程中验证是不是满足。比如针对一个一次方程组，可以选择还未确定系数法得出特解。针对一个二次方程组，可以选择常数变易法得出特解。在实质上解答途中，需要大家特别注意特解的解答方式与方程组的形式相关，需按照详细方程组进行选择。总而言之，通过代入法来获取特解是解答非齐次方程组的一种有效方式。

1 获取方程组的特解是可以的2 因为针对线性方程组来说，若其系数行列式不为0，则其解唯一，可以使用高斯-约旦消元法解答，得到通解后面再利用特解定理解答特解就可以。3 特解的获取可以通过代数方式，将通解中的任意参数取值为固定值，得到对应的特解，也可通过几何方式，将方程组转化为向量形式，用解向量进行表示。

方程组的特解可以通过代数运算或者高斯消元法得出。获取特解的过程需要大家特别注意方程的系数、常数和变量当中的关系还有解的可行性。假设方程组不唯一，既然如此那，特解也许有多组。特解的获取针对解题有很大作用，因为可以通过特解和齐次解的线性组合来得到方程组的通解，以此处理问题。

特解是由该矩阵经过行列变换后变为标准式，既然如此那，这个标准矩阵和原来的矩阵所代表的方程组是同解的。故此，就由标准矩阵列出同解方程组，然后得出该方程组特解。

详细解法为：

（1）将原增广矩阵行列变换为标准矩阵。

（2）按照标准行列式写出同解方程组。

（3）按列解出方程。

（4）得出特解。

线性方程组的通解由特解和大多数情况下解合成。大多数情况下解是AX=0得出来的，特解是由AX=B得出来。形式为X=η0+k*η。

非齐次线性方程组Ax=b的解答步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于

，就可以写出含n-r个参数的通解。非齐次线性方程组

有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（不然为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)n。（rank(A)表示A的秩） [2]

解的结构：非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）

比如： y+2y+y=e^x(1)//:这是二阶常系数非齐次线性微分方程； 它的特解就是找到一个函数y=f(x)，代入(1)后面，(1)式成立，则f(x)就是(1)的特解；

本例中，取y=f(x)=e^x/4，故将他代入(1)，得到： (e^x+2e^x+e^x)/4=e^x 4e^x/4=e^

x 即：y=f(x)=e^x/4为二阶常系数非齐次线性微分方程(1)的一个特解。

什么是常数变量法？

1、常数变易法是解线性微分方程行之有效的一种方式。它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。

2、这是在求一阶线性非齐次微分方程时所用的一种方式，针对一阶线性非齐次微分方程，y+P(x)y=Q(x)。

非齐次方程确定系数的通解？

二阶常系数非齐次线性微分方程通解公式：y+py+qy=f(x)。这当中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y+py+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性有关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特点方程为：λ^2+pλ+q=0，然后按照特点方程根的情况对方程解答。

常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，因为它扎根于各自不同的各样的实质上问题中，故此，继续保持着前进的动力。二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都拥有十分广泛的应用。比较经常会用到的解答方式是还未确定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。

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