积分的定义及推导过程，cos的四次方的定积分公式-华宇考试网

积分的定义及推导过程？

积分是微积分的一个重要概念，表示曲线下面的面积。其定义和推导过程请看下方具体内容：

1. 定义

设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，将该区间分成 $n$ 等分，每个小区间长度为 $\\Delta x = \\frac{b-a}{n}$，取 $x_i = a + i\\Delta x$，则曲线下面的面积可以近似表示为：

$$S_n = \\sum_{i=1}^n f(x_i)\\Delta x$$

当 $n$ 趋近于无穷大时，$S_n$ 的极限值称为函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分，记作：

$$\\int_a^b f(x)dx$$

2. 推导过程

为了更好地理解积分的定义，我们可以从微小的面积元素启动推导。

假设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，故将他分成 $n$ 等分，每个小区间长度为 $\\Delta x = \\frac{b-a}{n}$，取 $x_i = a + i\\Delta x$，则第 $i$ 个小区间上的面积可以表示为：

$$\\Delta S_i = f(x_i)\\Delta x$$

将全部小区间的面积相加，得到曲线下面的总面积：

$$S = \\sum_{i=1}^n \\Delta S_i = \\sum_{i=1}^n f(x_i)\\Delta x$$

当 $n$ 趋近于无穷大时，$\\Delta x$ 趋近于 0，$\\sum_{i=1}^n f(x_i)\\Delta x$ 的极限值就是该曲线下面的面积。因为这个原因，我们可以得到积分的定义：

$$\\int_a^b f(x)dx = \\lim_{n\o\\infty} \\sum_{i=1}^n f(x_i)\\Delta x$$

通过这个定义，我们可以得出函数在任意区间内的定积分。

cos的四次方如何求定积分？

解题过程请看下方具体内容：

原式=∫(cosx)^4 dx

=∫(1-sinx^2)cosx^2dx

=∫cosx^2dx-∫sinx^2cosx^2dx

=∫(1/2)(1+cos2x)x-∫(1/4)[(1-cos4x)/2]dx

=(x/2)+(1/4)sin2x-(x/8)+(1/32)sin4x+C

=3x/8+(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C

扩展资料

求函数积分的方式：

假设一个函数f在某个区间上黎曼可积，还在这里区间上大于等于零。既然如此那，它在这个区间上的积分也大于等于零。假设f勒贝格可积还基本上总是大于等于零，既然如此那，它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，假设两个上的可积函数f和g相比，f（基本上）总是小于等于g，既然如此那，f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。针对黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

针对勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不影响它的积分值。假设两个函数基本上处处一样，既然如此那，它们的积分一样。假设对中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，既然如此那，f基本上处处等于（大于等于）g。

假设在闭区间[a,b]上，不管怎样进行取样分割，只要它的子区间长度大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，既然如此那，f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，还定义为黎曼和的极限S。

设是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的全部原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C。

这当中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

答案是(3/8)x+(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C

详细步骤请看下方具体内容：

(cosx)^4

=cos⁴x

=(cos²x)²

=[(1+cos2x)/2]²

=(1/4)(1+2cos2x+cos²2x)

=(1/4)+(1/2)cos2x+(1/8)(1+cos4x)

=(3/8)+(1/2)cos2x+(1/8)cos4x∫cos⁴xdx

=∫[(3/8)+(1/2)cos2x+(1/8)cos4x]dx

=(3/8)x+(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C

扩展资料

经常会用到积分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

先算不定积分

可以把cos平方换成1-sin平方

后面cos平方乘sin平才可以以用sin(a+a) = 2sin(a)cos(a) ∫ cosx^4dx=∫ cosx^2dsinx^2=∫ (1-sinx^2)dsinx^2

=∫ dsinx^2-∫sinx^2 dsinx^2=∫cosx^2 dx-(sinx^3)/3

=1/4∫(cos2x+1) d2x-(sinx^3)/3

=sin2x/4+x/2-(sinx^3)/3

sinx的积分怎么推导？

sinx的n次方的积分公式：A^ndx=（n-1）/n*（n-3）/（n-2）。sinX是正弦函数，而cosX是余弦函数，两者导数不一样，sinX的导数是cosX，而cosX的导数是-sinX，这是因为两个函数的不一样的升降区间导致的。

函数（function）的定义一般分为传统定义和近代定义，函数的两个定义实质是一样的，只是叙述概念的出发点不一样，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设这当中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x当中的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。这当中核心是对应法则f，它是函数关系的实质特点。