数量关系解题技巧：隔板模型的妙用

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隔板模型本质为相同元素分堆的问题，即将n个相同的元素分为m堆(一堆至少有一个)。比如将10块相同的糖果分给5个小朋友，每个小朋友至少分一块的所有分法总共有多少种。我们要把10个相同元素元素分成5份，每份至少一个元素，那这种解题该如何进行呐?我们可以将元素进行分堆10个元素有9个空，而分成5堆需要在这9个空里加4个隔板，故一共有C(4,9)种分法。

一般地，我们能得到将n个相同的元素分给m个不同的对象，每个对象至少分一个，共有C(m-1,n-1)种不同的方法。

当然了，隔板模型有三个条件

1、元素必须完全相同;

2、每个对象至少分一个，不会出现有对象分不到元素的情况;

3、所有元素必须分完，不能有剩余;

如果3个条件中有任何条件不能够满足就不能直接使用隔板模型的公式，必须将题目中条件转换为符合3个条件的情况，才能够使用隔板模型的公式。

但是公考中的题目往往不会这么简单地同时满足三个条件，我们需要通过一些技巧将题目转换成等价的满足三种条件的形式来求解。

【例1】将7个大小形状相同的小球放进三个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，问共有多少方法?

A.12      B.24      C.36       D.48

【答案】C。解析：由于允许盒子为空所以不满足隔板法的三个条件，那么我们先在每个盒子多加一个，那每个盒子至少一个的条件就可以满足隔板法的公式，分完之后我们再从每个盒子拿走一个就和所求的题目等价，允许每个盒子至少0个也就是允许盒子为空，我们将7+3=10个球放进三个盒子，一共有C(2,9)=36种方法，答案选C。

【例2】某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的01、02、03、04 四个教学班,而且要求每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有( )种。

A.64 B.36 C.81 D.84

【答案】D。解析：要求01班至少1个名额，02班至少2个名额，03班至少3个名额，04班至少4个名额。那么我们给02班拿1个名额，给03班拿2个名额，给04班拿3个名额，那么此时每个班都是至少一个名额就能满足隔板法的条件，还剩10个名额分给4个班，方法数为C(3,9)=84种。

小结：通常考试中会出现不满足每个对象至少分到1个元素条件的题目，所以不能直接用隔板法，我们需要对题目进行一个等价的转换，让它满足隔板法的条件，从而套用公式。小伙伴们，学会了吗?快快练习起来吧!