一元二次方程三种公式，初中数学一元二次方程公式大全

1、公式法。在一元二次方程y=ax²+bx+c（a、b、c是常数）中，当△=b²-4ac＞0时，方程有两个解，按照求根公式x=（-b±√（b²-4ac））/2a即刻得出结果；△=b²-4ac=0时，方程唯有一个解x=-b/2a；△=b²-4ac＜0时，方程无解。

　　2、配方式。将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a（x-h）²+k（a≠0），再移项化简为（x-h）²=-k/a，开方后可得方程的解。

　　3、因式分解法。通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，即交点式的表达式y=a（x-x1）（x-x2），再分别令这两个因式等于0，它们的解就是原方程的解。

一、直接开平方式。

如：x^2-4=0 解：x^2=4 x=±2(因为x是4的平方根） ∴x1=2,x2=-2 二、配方式。

如：x^2-4x+3=0 解：x^2-4x=-3 配方，得(配一次项系数一半的平方） x^2-2*2*x+2^2=-3+2^2(方程两边同时加上2^2，原式的值不变） （x-2)^2=1【方程左边完全平方公式得到（x-2)^2】 x-2=±1 x=±1+2 ∴x1=1,x2=3，以上都是做为参考

1、因式分解法：（1）因式分解法原理是利用平方和公式（a±b）2=a2±2ab+b2或平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，把公式倒过来用就是了。（2）比如x2+4=0这个能用到平方差公式，把4看成22，就是x2+22 = (x-2)(x+2)再分别解出完全就能够了。（3）0乘以任何数都得0，(x-2)要是0既然如此那，x=2，(x+2)等于0既然如此那，x=-2，这样完全就能够了。

2、配方式：（1）配方式不算超级难但很重要，配方式可以求二次函数顶点和坐标，也可解一元二次方程。第1个步骤，先化为ax2+bx=c的形式。（2）第2个步骤，取一次项系数b一半的平方，再方程。b=8，先取一半，就是4，然后平方就是16，两边同时加上，就是x2+8x+16=2+16。（3）变一下形，平方和公式逆用，16看成42，就是(x+4)2=18。（4）然后直接开平方，x+4=±√18，再移项化简，x=±3√2-4。（5）然后再把解分别写出来就完成了

3、公式法：公式法比较简单，2x2-x=6先化为大多数情况下形式ax2+bx+c=0的形式，然后找出a,b,c,再直接套用公式(-b±√b2-4ac)÷2a，Δ＝b2-4ac＞0有两个不相等的实数根，Δ＝b2-4ac＝0有两个相等的实数根，解得x1＝2 x2＝-2/3

求根公式 X=一b土根号(b^2一4αc)/2α

韦达定理 X1十Ⅹ2=一b/α，X1xX2=c/α

判别式=b^2一4αc。

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程经过整理都可化成大多数情况下形式ax²+bx+c=0（a≠0）， 这当中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项 。





1、直接开平方式；

2、配方式；

3、公式法；

4、因式分解法。

一元二次方程ax^2+bx+c=0的万能公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

解：针对一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0），可以进行化简得，

x^2+b/a*x+c/a=0

x^2+2*b/2a*x+(b/a)^2-(b/2a)^2+c/a=0

(x+b/2a)^2=(b/2a)^2-c/a

即(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/a^2

既然如此那，可解得x+b/2a=√(b^2-4ac))/2a，或者x+b/2a=-√(b^2-4ac))/2a。

既然如此那，x=(-b+√(b^2-4ac))/2a，或者x=(-b-√(b^2-4ac))/2a。

故此，一元二次方程的万能解公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

一元二次方程解法一元二次方程的解法

一、知识要点：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基 础。

一元二次方程的大多数情况下形式为：ax^2（2为次数，即X的平方）+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的高次数是2 的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方式是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：

1、直接开平方式；2、配方式；3、公式法；4、因式分解法。

二、方式、例题精讲：

1、直接开平方式：

直接开平方式就是用直接开平方解答一元二次方程的方式。用直接开平方式解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为x=±根号下n+m .

例题一．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程明显用直接开平方式好做，（2）方程左边是完全平方法(3x-4)2，右边=110，故此，此方程也可以用直接开平方式解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

2．配方式：用配方式解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2

方程左边成为一个完全平方法：(x+ )2=

当b^2-4ac≥0时，x+ =±

∴x=(那就是求根公式)

例题二．用配方式解方程 3x^2-4x-2=0 (注：X^2是X的平方）

解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2

配方：(x-)2=

直接开平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2= .

3．公式法：把一元二次方程化成大多数情况下形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例题三．用公式法解方程 2x2-8x=-5

解：将方程化为大多数情况下形式：2x2-8x+5=0

∴a=2, b=-8, c=5

b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=240

∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)

∴原方程的解为x1=,x2= .

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这样的解一元二次方程的方式叫做因式分解法。

例题四．用因式分解法解下方罗列出来的方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得

x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有部分考生做这样的试题时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要非常注意符号不要出错)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

小结：

大多数情况下解一元二次方程，经常会用到的方式还是因式分解法，在应用因式分解法时，大多数情况下要先将方程写成大多数情况下形式，同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方式是基本的方式。

公式法和配方式是重要，要优先集中精力的方式。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成大多数情况下形式，以便确定系数，而且，在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是不是有解。

配方式是推导公式的工具，掌握并熟悉公式法后完全就能够直接用公式法解一元二次方程了，故此，大多数情况下不需要配方式

解一元二次方程。但是配方式在学习其他数学知识时有广泛的应用是初中要求掌握并熟悉的三种重要的数学方式之一，一定要掌握并熟悉好。（三种重要的数学方式：换元法，配方式，还未确定系数法）。

例题五．用一定程度上的方式解下方罗列出来的方程。(选学）

（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0

（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

分析：（1）第一应观察试题有无特点，不要漫无目的地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。

（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。

（3）化成大多数情况下形式后利用公式法解。

（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。

（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0

[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

(5x-5)(-x+13)=0

5x-5=0或-x+13=0

∴x1=1,x2=13

（2）解： x2+(2- )x+ -3=0

[x-(-3)](x-1)=0

x-(-3)=0或x-1=0

∴x1=-3，x2=1

（3）解：x2-2 x=-

x2-2 x+ =0 (先化成大多数情况下形式)

△=(-2 )2-4 ×=12-8=40

∴x=

∴x1=,x2=

（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

∴x1= ,x2=

例题六．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学）

分析：此方程假设先做乘方，乘法，合并同一类型项化成大多数情况下形式后再做将会比较麻烦，认真观察试题，我们发现假设把x+1和x-4分别当成一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（其实是运用换元的方式）

解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

即 (5x-5)(2x-3)=0

∴5(x-1)(2x-3)=0

(x-1)(2x-3)=0

∴x-1=0或2x-3=0

∴x1=1,x2=是原方程的解。

例题七．用配方式解有关x的一元二次方程x2+px+q=0

解：x2+px+q=0可变形为

x2+px=-q (常数项移到方程右边)

x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)

(x+)2= (配方)

当p2-4q≥0时，≥0（一定要对p2-4q进行分类讨论）

∴x=- ±=

∴x1= ,x2=

当p2-4q0时，0这个时候原方程无实根。

说明：这道题是含有字母系数的方程，试题中对p, q没有附加条件，因为这个原因在解题途中应随时注意对字母取值的要求，必要时进行分类讨论。

练习：

（一）用一定程度上的方式解下方罗列出来的方程：

1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3

3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0

5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0

（二）解下方罗列出来的有关x的方程

1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0

一元二次方程的解公式：

ax²+bx+c=0 (a≠0,a b c 为常数)

判别式Δ=b²-4ac

求根公式：x=(-b正负√b²-4ac)/2a，（b²-4ac不等于0）韦达定理：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a

用因式分解法解一元二次方程

一、将方程右边化为( 0)

二、方程左边分解为(两个 )因式的乘积

三、令每个一次式分别是( 0)得到两个一元一次方程

四、两个一元一次方程的解，就是所求一元二次方程的解。

或：

第一是分解因式法，看能不能分解成(x-a)(x-b)=0

假设能，解就是a和b

其次，假设不可以分解因式，既然如此那，用公式。

ax^2+bx+c=0

x=[-b+√(b^2-4ac)]/(2a)和x=[-b-√(b^2-4ac)]/(2a)

针对方程 ax²+bx+c=0，设它的两个解为 x1和x2，br有：x1 * x2=c/a；brx1+x2=-b/a；brx1-x2=±[√(b²-4ac)]/a。brbr一元二次方程成立一定要同时满足三个条件：br（1）是整式方程，即等号两边都是整式，方程中假设有分母；且未知数在分母上，既然如此那，这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中假设有根号，且未知数在根号内，既然如此那，这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

br（2）只含有一个未知数；br（3）未知数项的高次数是2。

针对AX^2+BX+C=0

X1|X2=-B/A，X1X2=C/A，这个就是韦达定理了。

通过求根公式：

X1+X2 = {-B-√(B^2-4AC)}/(2A)+{-B+√(B^2-4AC)}/(2A) = -B/A

X1+X2 = {-B-√(B^2-4AC)}/(2A)*{-B

+√(B^2-4AC)}/(2A) = C/A，这里只含有一个未知数（一元），并且未知数项的高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成大多数情况下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。

　　一元二次方程△的公式是△=b^2-4ac≥0。

　　△经常会用到来判断方程实根的个数。

　　有一个一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)

　　△=b^2-4ac0时，方程无实根；

　　△=b^2-4ac0时，方程有两个不等实根；

　　△=b^2-4ac=0时，方程唯有一个实根。

一元二次方程ax²+bx+c=0的解答公式是x1=（-b+√（b²-4ac））/b²，x2=（-b-√（b²-4ac））/b²。在解答时先判断b²-4ac=0，大于零则有两个解，等于零有两个一样的解，小于零没有解。

一元二次方程的求根公式是：[-b±根号内(b^2-4ac)]/(2a)，这个很多人都清楚。这当中b是一次项系数，a是二次项系数，而c是常数项，b^2-4ac是方程的判别式，记作“△”。利用它来解一元二次方程是通用的方式，基本上全部的一元二次方程，都可以用公式法求得方程的根（涵盖没有实数根的情况）。但你清楚这个求根公式是咋来的吗？



实际上求根公式是由配方式推出来的。对一元二次方程的大多数情况下式ax^2+bx+c=0(a不等于0)，运用配方式解方程，完全就能够得到这个求根公式。

按照配方式的大多数情况下步骤，先将常数项移到方程的右边，得到ax^2+bx=-c；然后两边同时除以二次项的系数a，得到x^2+bx/a=-c/a。 方程两边同时加上这个时候的一次项系数的一半的平方，得到x^2+bx/a+(b/(2a))^2=-c/a+(b/(2a))^2。左边就形成了完全平方公式的展开式，对它进行因式分解，而右边则可以通分相加，得到(x+b/(2a))^2=(b^2-4ac)/(2a)^2.

因为左边不小于0，右边分母大于0，故此，当b^2-4ac小于0时，方程就没有实数根，而当b^2-4ac=0时，x+b/(2a)=0，方程就有两个相等的实数根x=-b/(2a)，这也是方程对应的二次函数的对称轴。当b^2-4ac0时，两边同时开方，就得到x+b/(2a)=±根号内(b^2-4ac)/(2a)。移项使方程化为简的形式，就得到了一元二次方程的求根公式[-b±根号内(b^2-4ac)]/(2a)。

因为b^2-4ac的符号性质决定了方程根的情况，故此，b^2-4ac就被称为一元二次方程的判别式。