留数计算公式，留数法是什么意思举例说明

展开成洛朗级数的方式：

例如，f(z)=1/[z·(z-1)²]

求：1.res[f(z),0]2.res[f(z),1]

1.把f(z)在圆环域：0＜|z|＜1内展开成洛朗级数：

f(z)=1/z·1/(z-1)²=1/z·(1+2z+3z²+……)

展开式的C(-1)=1

故此res[f(z),0]=1

2.把f(z)在圆环域：0＜|z-1|＜1内展开成洛朗级数：

f(z)=1/(z-1)²·1/[1+(z-1)]

=1/(z-1)²·[1-(z-1)+(z-1)²-(z-1)³+……]

展开式的C(-1)=-1

故此res[f(z),1]=-1

留数定理

用来计算实函数积分的定理

在复分析中，留数定理是用来计算剖析解读函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。

基本信息

中文名留数定理

外文名Residue theorem

别名柯西留数定理

有关术语

剖析解读函数

应用学科

工程学、数学

适用领域范围

工学

定律定义

假设是复平面上的一个单连通开子集， 是复平面上有限个点是定义在 的全纯函数。假设是一条把 包围起来的可求长曲线,但不经过任何一个，并且其起点与终点重合，既然如此那，：

假设是若尔当曲线，既然如此那，, 因为这个原因：

在这里，表示在点的留数，表示有关点的卷绕数。卷绕数是一个整数，它描述了曲线绕过点的次数。假设依逆时针方向绕着移动，卷绕数就是一个正数，假设根本不绕过，卷绕数就是零。

留数又称残数，复变函数论中一个重要的概念。是剖析解读函数f（z）沿一条正向简单闭曲线的积分值。

定义是：f（z）在 0|z－a| ≤R上剖析解读，即a是f（z）的孤立奇点 留数定理及其应用

，则称积分值（1/2πi）∫|z－a|=Rf（z）dz为f（z）有关a点的留数 ，记作Res[f（z），a] 。假设f（z）是平面流速场的复速度，而a是它的旋源点（即旋涡中心或源汇中心），则积分∫|z－a|=Rf（z）dz表示旋源的强度-环流量，故此，留数是环流量除以2πi的值。因为剖析解读函数在孤立奇点附近可以展成罗朗级数：f（z）=∑ak（z－a）k ，将它沿|z－a|=R逐项积分，马上可见Res[f(z)，a]=a-1 ，这表达留数是剖析解读函数在孤立奇点的罗朗展式中负一次幂项的系数。

在复分析中，留数定理是用来计算剖析解读函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。

留数定理：设D是复平面上单连通开区域，C是其边界,函数f(z)在D内除了有限个奇点a1,a2,...,an外剖析解读,在闭区域D+C上除了a1,a2,...,an外连续,则在C上围道积分∮f(z)dz=2πi∑Res(f(z),ak)

留数定理假设有重根算法：

可以设为a/s+(bs+c)/(s^2+2s+4)

通分后分子为[(a+b)s^2+(2a+c)s+4a]=4

故此，a=-b=-c/2=1，b=-1，c=-2

故此，为1/s-(s+2)/(s^2+2s+4)

含义

在计算柯西分布的特点函数时出现，用初等的微积分是不可能把它计算出来的。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿确实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1，让虚数单位i包围在曲线里面。

展开成洛朗级数的方式：

例如，f(z)=1/[z·(z-1)²]

求：1.res[f(z),0]2.res[f(z),1]

1.把f(z)在圆环域：0＜|z|＜1内展开成洛朗级数：

f(z)=1/z·1/(z-1)²=1/z·(1+2z+3z²+……)

展开式的C(-1)=1

故此res[f(z),0]=1

2.把f(z)在圆环域：0＜|z-1|＜1内展开成洛朗级数：

f(z)=1/(z-1)²·1/[1+(z-1)]

=1/(z-1)²·[1-(z-1)+(z-1)²-(z-1)³+……]

展开式的C(-1)=-1

故此res[f(z),1]=-1

留数是复变函数中的一个重要概念，指剖析解读函数沿着某一圆环域内包围某一孤立奇点的任一正向简单闭曲线的积分值除以2πi。留数数值上等于剖析解读函数的洛朗展开式中负一次幂项的系数。按照孤立奇点的不一样，采取不一样的留数计算方式。留数常应用在某些特殊类型的实积分中，以此大大简化积分的计算过程。

扩展资料

利用留数定理，可以将特殊类型的实积分转换为某个复变函数沿简单闭曲线的积分，然后利用留数定理计算，以此大大简化计算过程。

复系数洛朗级数是复分析中的一个重要工具，特别在研究函数奇点附近的行为时。

e和洛朗近似：见文中解释。随着洛朗级数负次数的增长，图像接近正确的函数。 e和洛朗近似的负次数的增长。奇点零的邻域不可以被近似。

考虑比如函数，它的 。作为实变函数，它是处处无穷可微的；但作为一个复变函数，在x = 0处不可微。用−1/x替换指数函数的幂级数展开式中的x，我们得到其洛朗级数，针对除了奇点X = 0以外的全部复数，它都收敛并等于ƒ(x)。旁边的图显示了e（黑色）和它的洛朗近似。

留数又称残数，复变函数论中一个重要的概念。是剖析解读函数f（z）沿一条正向简单闭曲线的积分值。

定义是：f（z）在 0

，则称积分值（1/2πi）∫|z－a|=Rf（z）dz为f（z）有关a点的留数 ，记作Res[f（z），a] 。假设f（z）是平面流速场的复速度，而a是它的旋源点（即旋涡中心或源汇中心），则积分∫|z－a|=Rf（z）dz表示旋源的强度-环流量，故此，留数是环流量除以2πi的值。因为剖析解读函数在孤立奇点附近可以展成罗朗级数：f（z）=∑ak（z－a）k ，将它沿|z－a|=R逐项积分，马上可见Res[f(z)，a]=a-1 ，这表达留数是剖析解读函数在孤立奇点的罗朗展式中负一次幂项的系数。

在复分析中，留数定理是用来计算剖析解读函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。

留数定理：设D是复平面上单连通开区域，C是其边界,函数f(z)在D内除了有限个奇点a1,a2,...,an外剖析解读,在闭区域D+C上除了a1,a2,...,an外连续,则在C上围道积分∮f(z)dz=2πi∑Res(f(z),ak)

在c内(|z|=2)，z=0是f(z)=[ln(1+z)]/z的孤立奇点，但z=-1不是f(z)的孤立奇点，ln(1+z)在z=-1还有小于-1的负实轴上不剖析解读，故此，f(z)在z=-1还有小于-1的负实轴上也不剖析解读，故此，没办法应用留数定理计算积分∮f(z)dz，自然也没办法计算f(z)在-1处的留数res[f(z)，-1]。

=(1/a)(1/s²(s-a)-1/s³)=…=1/a³(s-a)-1/a³s-1/a²s²-1/as³

，纠偏题主一个错误，傅里叶反变换不使用留数法进行计算，直接用反变换公式或者经常会用到信号的傅立叶变换对及傅里叶变换的性质进行解答。留数法的原理，复变函数这门课程有介绍，题主可以自己去看，至于使用留数法计算拉普拉斯反变换与离散逆Z变换，随便找本信号与系统或者数字信号处理书上都拥有，自己查书，推导一遍，会更理解。☆

z|=2的内部有两个奇点,z=±i,而且，都是一阶极点.

原式=2πi[Res(f(z),i)+Res(f(z),-i)]

=2πi[lim(z→i)sinz/(z+i)+lim(z→-i)sinz/(z-i)]

=2πi(sini/2i+sin(-i)/(-2i))

=2πi*2sini/2i

=2πi*[e^(i*i)-e^(-i*i)]/2i²

=π/i*(1/e-e)

设f(z)=(z^10)/(z-3)。∴f(z)有一个一阶极点z1=3，但z1不在丨z丨=1内。

故，f(z)在丨z丨=1的留数Res[f(z),z1]=0。∴由柯西积分定理，有原式=(2πi)Res[f(z),z1]=0。

设f(z)=1/[(z^2)(z-1)(z+4)]，∵(z^2)(z-1)(z+4)=0，则z1=0、z2=1、z3=-4，这当中z1是二阶极点、z2、z3是一阶极点。∴丨z丨=3内，f(z)有两个极点z1、z2。

故，由柯西积分定理，原式=(2πi){Res[f(z),z1]+Res[f(z),z2]}。

而，Res[f(z),z1]=lim(z→z1)[(z^2)f(z)]=-{(2z+3)/[(z-1)(z+4)]^2}丨(z=0)=-3/16、Res[f(z),z2]=lim(z→z2)(z-z2)f(z)=1/5。∴原式=πi/40。