泰勒公式本质理解，泰勒定理是什么时候学的

自己的理解: 泰勒公式实质是用简单多项式函数的和的形式来模拟,或者近似处理一部分复杂函数, 例如说,求sin X的值, 根据三角函数的定义,方式可能有两个 用尺规做出23度的角,或者利用sin x图像估算,但这得出的值精确度完全依赖于测量工具的靠谱与否,不可以满足我们的需求。

泰勒公式（Taylor's formula）带Peano余项的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反复利用L'Hospital法则来推导，f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n) 　　泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x)在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在这里区间内时，可以展开为一个有关（x-x。)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x) 　这当中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1)，这里ξ在x和x。当中，该余项称为拉格朗日型的余项。（注：f(n)(x。)是f(x。)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。） 　　使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导。这当中o((x-x0)^n)表示n阶无穷小。Taylor公式典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等。

泰勒公式的使用条件：实质上应用中，泰勒公式需截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。 泰勒展开式的重要性反映在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因为这个原因求和函数相对比较容易。

2、一个剖析解读函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的剖析解读函数，并让复分析这样的手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

4、证明不等式。

5、求还未确定式的极限。

拉格朗日余项和佩亚诺余项的差别是： 带拉格朗日余项的泰勒公式是描述整体 带佩亚诺余项的泰勒公式描述局部 在是函数和各阶导数的关系时两者都可以使用，假设函数次数很低，用拉格朗日余项；函数次数非常高，用佩亚诺余项。没有任何要求和限制范围。 佩亚诺余项的意义在于x趋近于0时，满足拉格朗日余项是前者的高阶无穷小量。

假设函数的次数很低且x不是在0的小领域内讨论，则依然不会很合适用带佩亚诺余项的麦克劳林公式。

麦克劳林公式是泰勒公式在x=0的情况下的一种特殊形式.主要用于微分范畴,应用于近似值计算,利用多项式逼近函数,求极限和证明不等式.

泰勒公式

实质上应用中，泰勒公式需截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这样的近似的误差。

泰勒公式是在一点处展开，函数一定要在那一点处n阶倒数存在，在x＝0处是麦克劳林展开式，大多数情况下在极限里面用的是麦克劳林展开公式，故此，一定要x趋于0时才可以使用。

x趋于0才可以使用是说极限式里面的x趋于0，然后可以用麦克劳林公式做展开，而且，一定要是x＝0处展开，泰勒其实就是高级的等价无穷小替换，假设说展开的高阶小o(x)不是趋于0的，那就错了。这其实就是常说的说麦克劳林仅仅替代了那个x0＝0，然后就将一个复杂的函数转换成了一个简单的幂次函数，并且这个幂次函数在x0＝0的某邻域是成立的。

考研经常会用到的，看到试题给出条件，或者要证明f(x)与f''(x)想到泰勒公式，看到f(x)与f'(x)想到拉格朗日，看到f(x)＝0想到罗尔，介值定理。张宇原话。当然不是绝对的，但是，只为了到就不会忘记使用这样的方式