函数可微的推导是什么，什么叫做函数可微

若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。

可微的必要条件：若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数对应的改变量Δy相关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，这当中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy∣x=x0。

扩展资料：

可微函数图像的特点：

可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因为这个原因，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。

大多数情况下来说，若X是函数ƒ定义域上的一点，且ƒ′(X)有定义，则称ƒ在X点可微。那就是说ƒ的图像在(X, ƒ(X))点有非垂直切线，且该点不是间断点、尖点。

偏导数存在且连续可以推出函数可微， 函数可微可以推出极限存在和偏导数存在。

可微是指可以对函数进行微分运算。一个函数可微的定义是：设函数y=f(x)，且f(x)在x的领域内有定义，若自变量在点x的改变量Δx与函数对应的改变量Δy相关系Δy=A×Δx+ο(Δx)（这当中A与Δx无关），则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx多说一句：数学中的定义是很严谨的，只可以用数学语言表达。若采取“通俗易懂”的语言来描述，可能就可以产生偏差。

1、函数的二阶导数就是该函数一阶导数的导数，故此，函数二阶可导一定一阶可导2、一个函数在一个区间内一阶可导，二阶可导，分为一元函数和多元函数一元函数：可导等价于可微，能推出连续故此，该函数二阶可导说明一阶导数可导、可微、连续；函数本身可导、可微、连续多元函数：可微能推出对各个自变量的偏导数存在且连续该函数对各个自变量的二阶偏导数存在不可以够说明该函数连续或者可微

详细证明步骤请看下方具体内容：

证明二元函数的可微性即证明二元函数可微的一个充分条件：

若z=f(x,y)在点M(x,y)的某一邻域内存在偏导数f、f,且它们在点M处连续,则z=f(x,y)在点M可微。

证明:因为偏导数在点M(x,y)连续,0θ,θ1,α=0, △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)] =f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y =[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y =f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y 而||≤|α|+|β|, 故此，△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),即f(x,y)在点M可微。 注意:定理4的逆定理不成立。即:偏导数存在且连续是可微的充分非必要条件。

比如:f(x,y)=(x+y)sin (x+y≠0)0 (x+y=0),因为f(0,0)===0,同理:f(0,0)=0,故此，f(x,y)在(0,0)点的偏导数存在。又f(x,y)=2xsin+(x+y)cos(x+y≠0)0 (x+y=0)故此，f(x,y)=(2xsin-cos),这当中2xsin=0,而 cos中,若取路径y=x,明显cos=cos不存在,故此，f(x,y)不存在。因为这个原因f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在但不连续。而 = (△x+△y)sin=0,故此，f(x,y)在(0,0)点可微。

证明二元函数可微性：

判断二元函数的可微性,重要要理解二元函数连续、偏导数存在、方向导数存在、偏导数存在且连续这四个概念与可微当中的关系。本篇文章着重分析这四种关系,给出判断二元函数在某点可微的方式。[关键词]: 二元函数 连续 偏导数 可微 方向导数针对一元函数,可微性比较容易判断。因为一元函数在某个点连续、可导、可微这三个概念的关系是很了解的,可简单地表示为:可微?圳可导?圯连续。

第一,针对以一元函数,比较简单,可微一定可导,可导一定可微。针对多元函数：偏导数存在未必可微,可微一定存在偏导.（还有,偏导数存在时函数未必连续）二元函数,可微的充要条件是：

z=f(x,y)在（Xo,Yo)处的偏导数f`x(Xo,Yo),f`y(Xo,Yo)存在 且

{Δz-[f`x(x0,y0)h+f`y (x0,y0)k]}/ ρ=0 ( ρ→0)

这当中 k=Δx h=Δy ρ=就是动点和定点的距离,那个式子 根下(x-xo)2+(y-yo)2。

证明方式：1、用定义去验证。

2、利用充分条件 验证偏导函数连续。

二元可微的条件：

必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。

雅可比式计算方式：分子分母都是一个二阶行列式，二阶行列式的计算是|ab||cd|＝ad-bc。雅可比行列式一般称为雅可比式，它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式。其实，在函数都连续可微（即偏导数都连续）的前提之下，它就是函数组的微分形式下的系数矩阵（即雅可比矩阵）的行列式。若因变量对自变量连续可微，而自变量对新变量连续可微，则因变量也对新变量连续可微。

设函数f（t）在t=t0处可微（可导），当|t-t0|很小时，有近似结果：f（t）≈f（t0）+f′（t0）（t-t0）。

以直代曲法是把曲线等分成若干段,把第一小段觉得是直线测出其长度,这样曲线的总长=每段长度×段数.在这样的方式里,每小段越短误差越小。有微积分思想，化曲线为直线

公式描述：公式中f(x)为f(x)的导数。微分公式的定义设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在这里区间内。假设函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（这当中A是不随Δx改变的常量，但A可以随x改变），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）既然如此那，称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x对应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。

函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。

扩展资料

微分公式的推导设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)，这当中A是不依赖于△x的常数， o(Δx)是△x的高阶无穷小，则称函数y = f(x)在点x0是可微的。 AΔx叫做函数在点x0对应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy=AΔx。

微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是有关△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时，△y≈dy。 导数的记号为：(dy)/(dx)=f′(X)，我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且，还可以表示两个微分的比值（把△x看成dx，即：定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为dy=f′(X)dX。