立方求和推导公式，连续自然数的立方求和公式推导方程

立方求和推导公式？

如：a的立方＋b的立方二（a十b）（a平方一ab十b平方）。应用略。

连续自然数的立方求和公式推导？

自然数立方和公式请看下方具体内容：



简记：

1^3+2^3+.+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2

推导过程：

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]

=(2n^2+2n+1)(2n+1)

=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1

3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1

4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1

.

(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有

(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n

=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

经常会用到公式推导

一，等差数列求和公式

先得出1到100相加的平均数即：(1+100)/2，再乘以项数100，得(1+100)/2*100

这实际上就是等差数列求和公式：Sn=n(a1+an)/2

二，连续平方数求和公式







…………





求和得：



因为



（可由倒序求和得到）,

代入上式得：



整理后得：



三，连续立方数求和公式推导原理和连续平方和公式推导原理一样

四，连续奇数求和公式推导

Sn=1+3+5+...+(2n-3)+(2n-1)，n代表第n项

Sn=(2n-1)+(2n-3)+...+5+3+1，反过来同理

既然如此那，上下相加，Sn=n+....+n，一共有n个n，故此，Sn=n²

实际上带进等差数列求和公式也可算

图示也可理解：



五，等比数列求和公式推导

Sn=a1+a2+...+an

qSn=qa1+qa2+...+qan=a2+a3+...+a(n+1)

Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)，带进a(n+1)=a1*qn得

Sn=a1(1-qn)/(1-q)

n项立方求和公式？

立方数列求和公式是(n+1)³-n³=3n²+3n+1，立方和公式是有的时候，在数学运算中需运用的一个公式。该公式的文字表达为：两数和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。数列（sequence of number）是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

a1^3+a2^3+…+an^3=Sn^2,

》 a1^3+a2^3+…+an-1^3=Sn-1^2,

二式做差： an^3=Sn^2-Sn-1^2=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=an（Sn+Sn-1）

俩边除以an，

an^2=Sn+Sn-1 =an+Sn-1+Sn-1=+2*Sn-1 （an+1 中n+1是下脚标） an+1^2=an+1+2*Sn

再做差： an+1^2-an^2=an+1-an+2an=an+1+an；

an+1-an=1 是等差数列

a1^3+a2^3+…+an^3=Sn^2，n1时a1^3=a1^2，a1=1 》an=n

平方和Sn= n(n+1)(2n+1)/6，

推导：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,

.......

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,

把这n个等式两端分别相加,得：

(n+1)^3 -1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,

因为1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

代人上式整理后得：

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。

立方和Sn =[n(n+1)/2]^2，

推导： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，

n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，

......

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,

把这n个等式两端分别相加,得：

(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n

因为1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，

代人上式整理后得：

1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

扩展资料：

平方和就是2个或多个数的平方相加。一般是一部分正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可是无限多。

平方和公式：

，即

。

证法五 （拆分，直接推导法）：

1=1

2²=1+3

3²=1+3+5

4²=1+3+5+7

...

(n-1)²=1+3+5+7+...+[2(n-1)-1]

n²=1+3+5+7+...+[2n-1]

求和得：

……(*)

因为前n项平方和与前n-1项平方和差为n²

代入(*)式，得：

此式即

分解步骤请看下方具体内容：

(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b + 3ab2+ b3

解题经常用它的变形：

(a+b)3= a3+ b3+ 3ab(a+b)和a3+ b3= (a+b)3- 3ab(a+b)

(a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³

立方和累加：

正整数范围中

立方和公式，好有推导过程？

立方和公式是两数和与这两数的平方和加上台们的积的差相相乘等于这两数的立方和。

（a＋b）（a＾2一ab＋b＾2）

＝a＾b一a＾2b＋ab＾2＋a＾2b一ab＾2＋b＾3＝a＾3＋b＾3

立方和公式推导过程：a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²（a+b）-b（a²-b²）=a²（a+b）-b（a+b）（a-b）=（a+b）[a²-b（a-b）]=（a+b）（a²-ab+b²）。

立方和公式是有的时候，在数学运算中需运用的一个公式；该公式的文字表达为：两数和，乘其平方和与其积的差，等于这两个数的立方和。表达式为：（a+b）（a²-ab+b²）=a³+b³。立方也叫三次方；三个一样的数相乘，叫做这个数的立方。

请教立方和数列公式？

立方数列求和公式是

(n+1)³-n³=3n²+3n+1，

立方和公式是有的时候，在数学运算中需运用的一个公式。该公式的文字表达为：两数和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。数列（sequence of number）是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

平方和的推导利用立方公式：

(n+1)³-n³=3n²+3n+1（1）

记Sn=1²+2²+....+n²， Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2

对（1）式从1~n求和，得：

∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1

(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n

这个问题就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6

类似地，求立方和利用4次方公式：

(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1

比如：

2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1

3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1

4^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1

. . . . . .

(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1

去除中间步，将右边第一项移到左边得：

2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+1

3^3 - 2^3=3*2^2+3*2+1

4^3 - 3^3=3*3^2+3*3+1

. . . . . .

(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1

两边分别相加

(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n

1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3

整理即得

1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=n*(n+1)(2n+1)/6

扩展资料：

常见数列求和的方式：

1、公式法：

等差数列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比数列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

2、错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

比如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上面说的式子/(1-q)

3、裂项法

适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的不少项。