函数图像中心对称公式，高中函数对称性的总结

函数图像中心对称公式？

函数对称中心公式：y=f(x),x1+x2=2a，这个时候f(x1)+f(x2)=2b。把一个图形绕着某一个点旋转180°，假设它可以与另一个图形重合，既然如此那，就说这两个图形有关这个点对称，这个点叫做对称中心。中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分

同。

轴对称

函数轴对称的定义：假设一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像可以完全重合，则称该函数具备对称性的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

轴对称常见的形式：

1假设f(x)=f(2a-x)，则f(x)有关直线*=a对称

假设f(x+a)=f(a-x)，则f(x)有关直线x=a对称

a+b

3假设f(x+a)=f(b-x)，则f(x)有关直线x=-

2对称

函数中心对称公式：y=f(x)的形式，假设一个函数图象紧跟某一点旋转180°后，得到另一个函数的图象，既然如此那，我们说这两个函数图象有关这点成中心对称，把这个点叫做这两个函数的对称中心。

把一个图形绕着某一点旋转180°，假设它能与另一个图形重合，既然如此那，就说这两个图形有关这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做有关中心的对称点。 二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点唯有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点。

识别一个图形是不是是中心对称图形就是为了看到是不是存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。

中心对称函数公式？

Y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2(k∈Z),对称中心：(kπ,0) (k∈Z).

Y=cosx 对称轴：x=kπ (k∈Z),对称中心：(kπ+π/2,0) (k∈Z).

Y=tanx 对称轴：无,对称中心：(kπ/2,0) (k∈Z).

函数的对称中心公式？

若函数y＝f（x）满足f（x）＝－f（2a－X）＋2b，则f（x）的图象有关点（a，b）成中心对称。

奇函数是特殊的中心对称。

若函数满足f（x）＝f（2a－x）則f（X）图象是有关直线X＝a成轴对称。

偶函数是特殊轴对称。

若函数满足f（x＋a）＝f（X＋b）则函数是周期函数。周期T＝丨a－b｜

函数的对称中心是指函数的图形绕着某一个点旋转180°，假设它可以与另一个图形重合，既然如此那，就说这两个图形有关这个点对称，这个点叫做对称中心。

函数的对称中心公式是f（x）有关（a，b）对称，则有f（x）+f（2a-x）=2b，{或f（a+x）+f（a-x）=2b

详细做法：

1、对称性：一个函数：f（a+x）=f（b-x）成立，f（x）有关直线x=（a+b）/2对称。

2、f（a+x）+f（b-x）=c成立，f（x）有关点（（a+b）/2，c/2）对称。

3、两个函数：y=f（a+x）与y=f（b-x）的图像有关直线x=（b-a）/2对称。

4、证明：取一点（m，n）在函数上，证明经过对称变换的点仍在函数上。

5、如中心对称公式证明：取一点（m，n）在函数上，对称点为（a+b-m，c-n）。

6、f（a+（b-m））+f（b-（b-m）=c则f（a+（b-m））+n=c，其实就是常说的说f（a+（b-m））=c-n对称点也在函数上。

函数中心对称的定义？

函数中心对称定义:假设一个函数的图像沿一个点旋转180°,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。

函数对称中心公式：y=f(x),x1+x2=a/2，这个时候f(x1)+f(x2)=b/2。（a,b）是该函数的对称中心。如函数f(x)=1/x中，

点（1，1），（-1-1）的中点，（0，0）是函数的对称中心。

中心对称

把一个图形绕着某一点旋转180°，假设它能与另一个图形重合，既然如此那，就说这两个图形有关这个点对称或中心对称（central symmetry）。

一个函数有关一个点中心对称的公式？

函数的对称中心公式是f(x)有关（a,b）对称,则有f(x)+f(2a-x)=2b,｛或f(a+x)+f(a-x)=2b｝。详细做法：

1、对称性：一个函数：f(a+x)=f(b-x)成立，f(x)有关直线x=(a+b)/2对称。

2、f(a+x)+f(b-x)=c成立，f(x)有关点（(a+b)/2，c/2）对称。

3、两个函数：y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像有关直线x=(b-a)/2对称。

4、证明：取一点(m,n)在函数上，证明经过对称变换的点仍在函数上。

5、如中心对称公式证明：取一点(m,n)在函数上，对称点为(a+b-m,c-n)。

6、f(a+(b-m))+f(b-(b-m)=c 则f(a+(b-m))+n=c,其实就是常说的说f(a+(b-m))=c-n 对称点也在函数上。

函数中心对称点公式？

Y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2(k∈Z),对称中心：(kπ,0) (k∈Z).Y=cosx 对称轴：x=kπ (k∈Z),对称中心：(kπ+π/2,0) (k∈Z).Y=tanx 对称轴：无,对称中心：(kπ/2,0) (k∈Z).

函数对称中心常见公式？

、对称性的概念及常见函数的对称性

1、对称性的概念

函数轴对称：假设一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像可以完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

中心对称：假设一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性(全部函数自变量可取有意义的全部值)

常数函数：不仅是轴对称又是中心对称，这当中直线上的全部点都是它的对称中心，与该直线相垂直的直线都是它的对称轴。

一次函数：不仅是轴对称又是中心对称，这当中直线上的全部点都是它的对称中心，与该直线相垂直的直线都是它的对称轴。

二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。

反比例函数：不仅是轴对称又是中心对称，这当中原点为它的对称中心，y=x与y=-x都是它的对称轴。

指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

幂函数：明显幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。

正弦函数：不仅是轴对称又是中心对称，这当中(kπ，0)是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。

正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)不仅是轴对称又是中心对称，只要能从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只要能从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要大家特别注意的是假设图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。

余弦函数：不仅是轴对称又是中心对称，这当中x=kπ是它的对称轴，(kπ+π/2，0)是它的对称中心。

正切函数：不是轴对称，但是，是中心对称，这当中(kπ/2，0)是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的考生会误以为对称中心只是(kπ,0)。

对号函数：对号函数y=x+a/x(这当中a0)因为是奇函数故此，是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是考生们可能误以为值处是它的对称轴，比如在处理函数y=x+1/x时误以为会有f0.5)=f(1.5)，我在教学时总是问学生：你可看见过老师将“√”两边画得一样齐？学生们马上明白并记忆深入透彻。

三次函数：明显三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是不是具备对称性得因题而异。

绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者明显是偶函数，它会有关y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方是否也还是具备对称性，这也没有一定的结论，比如y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却也还是是轴对称。

二、函数的对称性猜测

1、详细函数特殊的对称性猜测

一个函数大多数情况下是不会有关x轴的

这是由函数定义决定的，因为一个x不会对应两个y的值。但我们在这里略微引申，一个曲线是可能有关x轴对称的。

例题一判断曲线y^2=4x的对称性。

函数有关y轴对称

例题二判断函数y=cos(sin(x))的对称性。

函数有关原点对称

例题三判断函数y=(x^3)×sinx的对称性。

函数有关y=x对称

例题四判断函数y=1/x的对称性。

函数有关y=-x对称

例题五判断函数y=-4/x的对称性。

总结：设(x,y)为原曲线图像上任一点，

假设(x,-y)也在图像上，则该曲线有关x轴对称；

假设(-x,y)也在图像上，则该曲线有关y轴对称；

假设(-x,-y)也在图像上，则该曲线有关原点对称；

假设(y,x)也在图像上，则该曲线有关y=x对称；

假设(-y,-x)也在图像上，则该曲线有关y=-x轴对称。

2、抽象函数的对称性猜测

轴对称

例题六假设函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x)，求该函数的全部对称轴。(任意取值代入比如x=0有f(1)=f(4)，正中间2.5，以此该函数有关x=2.5对称)

例题七假设函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，求该函数的全部对称轴。(按上例一样的方式可以猜出对称轴为x=0，可见偶函数是特殊的轴对称)

例题八假设f(x)为偶函数，还f(x+1)=f(x+3)，求该函数的全部对称轴。(因为f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出对称轴x=-1，又因为它以2为周期，故此，x=k是它全部的对称轴，k∈Z)

中心对称

例题九假设函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6，求该函数的对称中心。(因为自变量加起来为7时函数值的和自始至终为6，故此，中点固定为(3.5，3)，那就是它的对称中心)

例题一0假设函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0，求该函数的全部对称中心。(按上例一样的方式可以猜出对称中心为(0，0)，可见奇函数是特殊的中心对称)

例题一1假设f(x)为奇函数，还f(x+1)+f(x+3)=0，求该函数的全部对称中心和对称轴。(由周期性定义知周期为4，又f(x+1)=-f(x+3)，以此f(x+1)=f(-x-3)，按上例知x=-1为对称轴，故此，x=-1+2n为对称轴，(2k，0)为对称中心，这当中k∈Z)

总结：

当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性,这当中的对称为多少我们可以用特殊值代入来猜测,这里依然不会主张记结论，因为比较容易与后面的结论相混淆。

而当x前面的符号一样时告诉我们的是周期性。比如f(x+1)=f(x-5)是告诉我们它以6为周期。

当x前面的符号一样，同时告诉我们奇偶性时我们也可推出对称性，因为奇偶性有制造负号的能力。

3、两个抽象函数当中的对称性猜测

例题一2求y=f(x+2)与y=f(1-x)的对称轴方程。(当第一个函数的x取0时，值为f(2),这时第二个函数的x一定要取-1才也对应很多，他们的正中间为-1.5，因而猜测对称轴为x=-1.5)

总结：

当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性，这当中的对称为多少我们也还是可以用特殊值代入来猜测,这里也还是不主张记结论，因为比较容易与前面的结论相混淆。

而当x前面的符号一样时告诉我们的是图像平移。比如y=f(x+2)与y=f(x-1)，前者是由后者向左移三个单位得到。

三、对称性的证明

假设在解答大题时仅仅猜测出结论是不够的，我们要辅以完整的证明才可以。

1、一个函数的对称性证明

例题一3证明假设函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则该函数有关直线x=(a+b)/2对称。

证明：在y=f(x)上任取点(m，n)，则n=f(m)，而点(m，n)有关x=(a+b)/2的对称点为(a+b-m，n),又因为f(a+b-m)=f(a+(b-m))=f(b-(b-m))=f(m)=n,这正表达(a+b-m，n)也在原函数图像上，以此原函数有关直线x=(a+b)/2对称。

总结：核心是间接法，也就是在函数上任取一点，对称点假设仍在函数图像上，我们完全就能够下结论该函数有关它对称。

2、两个函数当中的对称性的证明

例题一4证明函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)有关直线x=(b-a)/2对称。(注意不是(a-b)/2,证明的方式类似于上例方式)

总结：仍是间接法，但是，多一次，可以在函数上任取一点，对称点假设在对方函数图像上，同时在对方函数上任取一点，对称点又在该函数图像上，我们才可以下结论该函数有关它对称。取两次的因素是避免两个图像一个只是另一个对称过来图像的一些。

3、非常地有关y=x对称性的证明

例题一5证明y=(2x+1)/(3x-2)有关y=x对称。(只要能得出它的反函数是自己就可以)

总结：

一个函数自己有关y=x对称不用用上面的间接法，只证明它的反函数是自己完全就能够了。

两个函数有关y=x对称性证明也不用用上面既然如此那，麻烦的方式，只要能证明两个函数互为反函数，即求一个的反函数为另外一个完全就能够了。

反过来这句话也成立，假设需证明两个函数互为反函数，只证明它们的图像有关y=x对称就可以。

四、对称性地运用

1、求值

例题一6已知f(x)=4^x/(4^x+1),求f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。(我们只考虑当两个自变量加起来为0时函数值的和是不是为定值，验证果然。而这里明显隐含的是函数的对称性)

总结：“配对”，对称性主要是考核一对函数值当中的关系。

2、“对称性+对称性”可以推导出周期性

例题一7假设函数y=f(x)满足f(x+3)=f(2-x)和f(4+x)=f(5-x)，求该函数的小正周期。(因为f(x+3)=f(2-x)=f(4+(-2-x))

=f(5-(-2-x))=f(7+x)故此，周期为4)

总结：两个对称性拼起来完全就能够将里面的符号化为同号，以此得出周期性。

3、“奇偶性+对称性”可以推导出周期性

这在前面已经提到，主要还是奇偶性有制造负号的能力。

4、三角函数的奇偶性

例题一8假设函数y=3sin(2x+θ+π/4)(这当中0

总结：基本上全部的三角函数的奇偶性都是当对称性来使用，先得出全部的对称轴，然后y轴是这当中的一条(或者先得出全部的对称中心，然后原点是这当中的一个)。

5、有关y=x对称的应用

例题一9求函数f(x)=e^(x+1)与函数g(x)=ln(x+1)的对称轴方程。(因为f(x)=e^x与g(x)=lnx互为反函数，有关y=x对称，而f(x)=e^(x+1)是由f(x)=e^x向左移一个单位得到，g(x)=ln(x+1)也是由g(x)=lnx向左移一个单位得到，因而对称轴也跟着左移一个单位，即y=x+1)

6、对称性的本义

例题二0假设y=asinx+bcosx有关x=π/4对称，求直线ax+by+3=0的直线的斜率。(既然，有关x=π/4对称，则f(0)=f(π/2)代入得出a和b的关系就可以)

总结：对称性的本义就是有关对称中心(或对称轴)对称的两个自变量的函数值的紧密关系。

中心对称的性质公式？

中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，假设它可以与另一个图形重合，既然如此那，就说这两个图形有关这个点对称或中心对称（central symmetry）。

中心对称是针对两个图形来说是指两个图形的(位置)关系。呈中心对称图形的对称点分别在两个图形上。

性质:(1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心．而且，被对称中心平分。

(2)中心对称的两个图形是全等形。

(3)中心对称的两个图形，其对应线段相互平行(或在同一直线上)且相等。

函数中心对称公式：y=f(x)的形式，假设一个函数图象紧跟某一点旋转180°后，得到另一个函数的图象，既然如此那，我们说这两个函数图象有关这点成中心对称，把这个点叫做这两个函数的对称中心。

谢谢您的看和支持，期望我的答案能对您有一定的帮助

一、y=sinx 1、奇偶性：奇函数2、图像性质：中心对称：有关点(kπ,0)对称轴对称：有关x=kπ+π/2对称3、枯燥乏味性：增函数：x∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]减函数：x∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]二、y=cosx 1、奇偶性：偶函数2、图像性质：中心对称：有关点(kπ+π/2,0)对称轴对称：有关x=kπ对称3、枯燥乏味性：增函数：x∈[2kπ-π,2kπ]减函数：x∈[2kπ,2kπ+π]三、y=tanx 1、奇偶性：奇函数2、图像性质：中心对称：有关点(kπ/2,0)对称3、枯燥乏味性：增函数：x∈(kπ-π/2,kπ+π/2)四、y=cotx 1、奇偶性：奇函数2、图像性质：中心对称：有关点(kπ/2,0)对称3、枯燥乏味性：减函数：x∈(kπ,kπ+π) 9