拓扑学是大学课程吗，点集拓扑和代数拓扑的区别

是

大多数情况下拓扑学是大学数学专业的一门专业课,拓扑学是几何学的一个分支,也是数学分析的一个分支,假设以后要学分析，那肯定是要学拓朴的,基本的是点集拓扑,还有代数拓扑、微分拓扑等。

拓扑学目前已经成为数学的基础性学科之一,并在数学的其它领域,甚至非数学领域有着广泛且非常重要的应用。 经管类专业 针对经管类专业来说,学好拓扑学经济学是必要的,考研专业课超过百分之80学校经济类学硕拓扑学都是必考科目,有部分学校还考察政治经济学,例如人大。

拓扑学经济学能提供些基本的分析经济问题的思想,例如均衡分析法等思想,金融市场基本的套利思想就与此有很大关系。

总来说之,作为经济类专业的学生,拓扑学是一定要学好的。

查

《点集拓扑》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学（Point Set Topology），有的时候，也被称为大多数情况下拓扑学（General Topology）是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间还有定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源自于以下哪些领域：对实数轴上点集的详细研究，流形的概念，度量空间的概念，还有早期的泛函分析。它的表达形式大约在1940年左右就已经成文化了。通过这样的可以为全部数学分支适用的表达形式，点集拓扑学差不多抓住了全部的对连续性的直观认识。

代数拓扑(Algebraic topology)是为了让用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。它的前身是组合拓扑，组合拓扑的奠基人是H.庞加莱，1895年他建立了纯粹同调群就可以三角剖分的空间（多面体）的同调群，引进了重要的拓扑不变量贝蒂数及挠系数。J.W.亚历山大在1915年证明了贝蒂数和挠系数是同胚不变量，纯粹同调群是同胚不变量。同时庞加莱还引进了复形的基本群。1904年他给出了庞加莱猜想，即每个单连通的闭的可定向的三维流形同胚于三维球面，这个猜想后被推广为每个单连通的闭的n维流形，假设具有n维球S的贝蒂数和挠系数，它就同胚于S。庞加莱猜想暂时还没有被证明。推广了的庞加莱猜想，针对n≥5的情形，为S.斯梅尔于1961年证明，对n＝4的情形，为M.H.弗里德曼于1981年所证明。庞加莱是企图利用同调群和基本群对三维流形进行同胚分类，但亚历山大在1919年指出存在不一样胚的三维流形，它们有同构的同调群和基本群。20世纪20年代S.莱夫谢茨和亚历山大发展了同调论，得到了霍普夫不变量，证明了莱夫谢茨不动点定理，亚历山大对偶定理。20世纪初引进了大多数情况下空间的同调群。1932年E.切赫上同调群出现。1944年S.艾伦伯格定义了奇异同调群且用艾伦伯格-斯廷罗德公理把各自不同的同调群统一起来，建立了同调理论。在同伦论方面W.赫维茨定义了同伦群。J.H.C.怀特赫德把研究对象推广到CW复形。1947年N.E.斯廷罗德在障碍理论中定义了斯廷罗德平方运算。1951年J.-P.塞尔对纤维丛引进了谱序列，在同伦群的计算方面获取很多成就。除开这点，纽结问题也进一步发展成为思维合痕和嵌入问题。

拓扑学是几何学的一个分支，主要研究图形在连续变换下不变的性质。

可参看百科的“拓扑”或“拓扑学”条目。我下面引述的例子很少作解释，可以直接查到。

比如，Euler的七桥问题就是一个拓扑学的问题，因为把七桥连成路径，不论桥和路如何连续的变化，都影响不了问题的结果，其实就是常说的说，这个问题研究的是一个连续变换下不变的性质。

又如，四色定理（地图可用四色着色）是一个拓扑学的问题，因为地图中的区域大小和详细形状在问题中依然不会重要，都可以连续的变化，不改变地图可以用四色着色这一性质。

故此在拓扑学的观点下，圆和三角形的性质没啥区别，轮胎和戒指的性质没啥区别，因为它们都可以通过连续变换相互得到。

另外一个方面，研究图形面积的几何就不是拓扑学，因为在连续变换下，面积可以变化。同样的道理，图形的大小、平行、对称、垂直等等都不是拓扑学的研究领域。

可以看到，拓扑学研究的性质对图形的要求很低（相对的程度变了形都没关系），故此，它的应用范围也就十分广泛，因而成为现代数学的基础之一。以至于不少给人的印象跟几何图形没多大关系的地方，也可应用拓扑学的知识。如分析学中就非常多使用点集拓扑学的术语和手段。

拓扑学因研究的领域和方式的不一样，有一部分分支。如大多数情况下拓扑学，又称点集拓扑学是研究一组抽象的“点”（可以是几何上的，也可不是）的拓扑性质的；代数拓扑学，利用代数学的手段研究拓扑性质，如同伦论和同调论；微分拓扑学，利用分析学的手段（主要是微分）研究拓扑性质；几何拓扑学，研究几何意义明显的东西（成为流形），如扭结；等等。

注：以上的叙述只是讲解，语言全部在数学上不严谨的。实质上的拓扑学研究中，像连续、变换、点等概念，都是需严格定义的。