三容斥原理所有公式推导过程，容斥原理公式

三集合容斥问题的核心公式请看下方具体内容：

标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。

列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

| A | + | B | + | C | =只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，针对以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。

容斥原理：

在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，大家研究出一种新的计数方式，这样的方式的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的全部对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，让计算的结果既无遗漏又无重复，这样的计数的方式称为容斥原理。

核心公式：

（1）两个集合的容斥关系公式：

A＋B＝A∪B＋A∩B

（2）三个集合的容斥关系公式：

A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C

三集合容斥公式：标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C |

容斥原理用于计算集合并集的元素个数,公式为：

n(A1+A2+……+Am)=n(A1)+n(A2)+……+n(Am)-n(A1A2)-n(A1A3)-……-n(A1Am)

-n(A2A3)-n(A2A4)-……-n(A2Am)-……-n(Am-1Am)+n(A1A2A3)+n(A1A2A4)+……

+n(Am-2Am-1Am)-……+(-1)^(m-1)*[n(A1A2……Am)]

注:n(A)表示集合A的元素个数,A+B表示A∪B,AB表示A∩B

标准解释是：在计数时，一定要注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，大家研究出一种新的计数方式，这样的方式的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的全部对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，让计算的结果既无遗漏又无重复，这样的计数的方式称为容斥原理。我简单解释一下下面两个公式：

(1)两个集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B公式左边：A、B两个集合里全部的不重复的元素个数公式右边：A、B全部元素（可能有被重复计算的）减去重复的元素个数(2)三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C公式左边：A、B、C三个集合里面全部的不重复的元素个数公式右边：A、B、C全部元素个数(A+B+C)减去每两个集合重复的元素数(A∩B+B∩C+C∩A)加上三个集合重复的元素数(A∩B∩C)(A∩B+B∩C+C∩A)每两个集合重复的元素里面计算了2次A∩B∩C

容斥原理：

在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，大家研究出一种新的计数方式，这样的方式的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的全部对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，让计算的结果既无遗漏又无重复，这样的计数的方式称为容斥原理。

核心公式：

（1）两个集合的容斥关系公式：

A＋B＝A∪B＋A∩B

（2）三个集合的容斥关系公式：

A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C

容斥原理用于计算集合并集的元素个数,公式为：

n(A1+A2+……+Am)=n(A1)+n(A2)+……+n(Am)-n(A1A2)-n(A1A3)-……-n(A1Am)

-n(A2A3)-n(A2A4)-……-n(A2Am)-……-n(Am-1Am)+n(A1A2A3)+n(A1A2A4)+……

+n(Am-2Am-1Am)-……+(-1)^(m-1)*[n(A1A2……Am)]

注:n(A)表示集合A的元素个数,A+B表示A∪B,AB表示A∩B