泰勒公式相乘的计算方法，sinx的泰勒公式展开

大多数情况下来说，泰勒公式全部在x=0处展开，泰勒公式要进行相乘，先进行正常的乘除加减运算，把高阶的直接变成无穷小就行了。

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒公式的余项

泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项实质一样，但是，作用不一样。大多数情况下来说，当不用定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。

泰勒公式实质上是一种“幂级数”，它将复杂的运算，统一成为“代数加减乘除”运算。

因为这个原因，泰勒公式可以将运算本身“质的复杂度”，转换为“量的复杂度”，并进行估算。

比如：1/(1-x)=∑n=0，∞x^n，|x|1。1/(1-2x)=∑n=0，∞2^nx^n，|x|1/2。当|x|1/2时，f(x)=1/[(1-x)(1-2x)]=2/(1-2x)-1/(1-x)=2∑n=0，∞2^nx^n-∑n=0，∞x^n。=∑n=0，∞[2^(n+1)-1]x^n，|x|1/2。

有关sin的泰勒公式：f(x)=sinx。泰勒公式，也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式能用到这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数，求得在这一点的邻域中的值。

其函数的定义一般分为传统定义和近代定义，函数的两个定义实质是一样的，只是叙述概念的出发点不一样，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设这当中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x当中的等量关系可以用y=f（x）表示。]

sinx泰勒公式：sinx=sinα·cosβ。

sinX是正弦函数，而cosX是余弦函数，两者导数不一样，sinX的导数是cosX，而cosX的导数是-sinX，这是因为两个函数的不一样的升降区间导致的。

正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。

泰勒公式的余项有两类：

一类是定性的皮亚诺余项。

另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项实质一样，但是，作用不一样。大多数情况下来说，当不用定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。

泰勒级数是泰勒公式推广的级数结论形式。也就是在某一区间无穷和存在的形式。而泰勒公式大多数情况下是指有限项的展开形式，分为四种经常会用到情形：

1。拉格朗日余项的区间展开；主要用于微分中值问题的证明。

2。佩亚若余项的任意点邻域展开；

3。拉格朗日余项的麦克劳林的以原点为中心的区间展开；

4。佩亚若余项的麦克劳林的原点邻域展开；主要用于求极限。[]

泰勒中值定理推导的过程是利用中间值给出了余项的值，故此，看做泰勒中值定理，而皮亚诺余项时，余项仅用高阶无穷小来表示，不可以算作中值定理，但是，是泰勒公式，泰勒公式常见的可分为两类，区分标准主要反映在余项上。

按余项分类，泰勒公式分两种：一种是带有拉格朗日型余项的，这种类型的表达中有“在某区间上存在某值让某式成立”的含义，故此，属于泰勒中值定理。

而另一种（带有佩亚诺余项的），后一项仅仅用等价无穷小代替了，不可以算是中值定理。

在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够光滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实质上的函数值当中的偏差。（实际上就是用多项式函数去逼近光滑函数）

推导过程

（以下针对泰勒公式的来龙去脉做了详尽的介绍，也反映了精彩的数学分析过程，供读者认真研究，必有收获）

(1)引例

给出一个三次多项式请看下方具体内容图,我们来做一个貌似无趣的工作：将p(x)求导三次

明显这个十分漂亮的结果在启发我们去找寻更大多数情况下的规律。

（2）n次多项式的泰勒公式

给出n次多项式p(x),根据上边的方式步骤，先求导n次。

这里的S1叫做n次多项式的麦克劳林公式

到这里我们能发现假设成功， 推导大多数情况下规律

这里的S2被称为n次多项式的泰勒公式

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但是，到了这里，我们的推导过程才一开头

上面说的的是n次多项式的泰勒公式是基础并且重要的，它将为下面要研究的任意函数的泰勒公式提供足够的准备。

给出一个不是多项式的任意函数f(x),其定义域为D， 我们推导是不是可以将f(x)也写成与多项式类似的漂亮的展开式。

仿照S2我们人为的构造一个有意思的多项式。

记此式为

注意：（1）要能写成这样的式子，f(x)一定要在点x0处存在n阶导数；

（2）因为f(x)不是多项式，故此，我们人为的写成Pn(x)!=f(x),故此，写成这样的式子并不是f(x)的展开式；

故此， 我们需研究两者当中究竟相差多少，为进一步研究此问题，需设f(x)在定义域内存在n+1阶导数，后面会看到这里假设的用处。

记

然后做辅助函数

能看出， 的任务是讨论g(x0).

前面已经假设f(x)在定义域内n+1阶可导，故对g(t)求导，

另取函数，有

于是

这里ξ介于x0与x当中，S4被叫做拉格朗日余项， S5被叫做带拉格朗日余项的泰勒公式

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然后我们再令x0=0,则

这里S6被称为带拉格朗日余项的麦克劳林公式

，我们再具体讨论当 x趋于x0 时f(x)的展开式问题，这应该当成“极限工具贯穿整个微积分体系”这一原则的反映。

第一可以降低f(x)需满足的条件，即只假设f(x)在点x0处的n阶导数连续，其实就是常说的f(x)的n阶导数在点x0处连续，这时，在S5中用（n-1）代替n，有

S8被叫做带佩亚诺余项的泰勒公式，S9被叫做佩亚诺余项（佩亚诺是意大利数学家）

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到这里就结束了，下面我们再给出一部分经常会用到的带佩亚诺余项的麦克劳林公式

后，带佩亚诺余项的泰勒公式大多数情况下用于计算题，证明题中大多数情况下用带拉格朗日余项的泰勒公式。

麦克劳林公式是泰勒公式的情况特殊，当x0=0是泰勒公式就是麦克劳林公式故此，当函数在0处各阶导数好求时才用麦克劳林公式至于余项，拉格朗日余项的优点是方便估计误差，故此，需估计误差时才用拉格朗日余项

在x=2处，f(x)=lnx的四阶泰勒公式为：lnx=ln2+(x-2)/2-(x-2)^2/8+(x-2)^3/24-(x-2)^4/64+(x-2)^5/160[1+a(x-2)/2]^5 (0