五个泰勒公式，高中数学泰勒公式在哪本书

泰勒公式是高等数学中的一个很重要的主要内容，它将一部分复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，经常会用到的泰勒公式请看下方具体内容所示：

1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……

2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|1) 

3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……(-∞x∞) 

4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞x∞)

5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|1)

6、arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|1) 

7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1) 

8、sh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞x∞) 

9、ch x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞x∞) 

10、arcsh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|1) 

11、arcth x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|1)

数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实质上的函数值当中的偏差。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里第一次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年以前，先提出了带有余项的目前形式的泰勒定理。

希腊哲学家芝诺在考虑利用无穷级数求和来得到有限结果的问题时，得出不可能的结论-芝诺悖论，这些悖论中著名的两个是“阿喀琉斯追乌龟”和“飞矢不动”。

后来，亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，直到德谟克利特还有后来的阿基米德进行研究，此部分为数学内容才得到处理。阿基米德应用穷举法让一个无穷级数可以被一步一步的细分，得到了有限的结果。

14世纪，玛达瓦发现了一部分特殊函数，涵盖正弦、余弦、正切、反正切等三角函数的泰勒级数。

17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究，并且发表了若干麦克劳林级数。直到1712年，英国牛顿学派优秀代表人物之一的数学家泰勒提出了一个通用的方式，那就是为大家所熟知的泰勒级数；爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授发现了泰勒级数的特例，称为麦克劳林级数。

泰勒公式

泰勒公式得名于英国著名数学家布鲁克·泰勒（1685～1731），他在1712年的一封信里第一次叙述了这个公式。

泰勒公式是用一个函数在某点的信息来描述其附近取值的公式，它是用若干项连加来表示一个函数，这些东西项是由函数在某点的导数求得的。

泰勒展开式具有广泛的应用，它犹如一把倚天剑可以纵横挥洒，一剑封喉。

泰勒公式是用一个函数在某点的信息来描述其附近取值的公式，它是用若干项连加来表示一个函数，这些东西项是由函数在某点的导数求得的。

01 泰勒公式形式：

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用有关（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方式。

数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

泰勒公式还给出了这个多项式和实质上的函数值当中的偏差。

解：√(1+x)=(1+x)^(1/2)(按泰勒公式展开) =1+(1/2)x+(1/2)[(1/2)-1]x²/2!+(1/2)[(1/2)-1][(1/2)-2]x³/3!+…+(1/2)[(1/2)-1][(1/2)-2]…[(1/2)-n+1](x^n)/n!+o(x^n) =1+(x/2)-(x²/8)+(x³/16)-…+[(-1)^(n-1)](2n-3)!!(x^n)/(2n)!! +o(x^n) (2n)!!=(2n)×(2n-2)×(2n-4)×…×4×2，即隔一个相乘，一直乘到能取到的小正整数。

sinx泰勒公式：sinx=sinα·cosβ。sinX是正弦函数，而cosX是余弦函数，两者导数不一样，sinX的导数是cosX，而cosX的导数是-sinX，这是因为两个函数的不一样的升降区间导致的。

正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。

泰勒公式展开,按照精度取前几项就够用了cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-…这当中,x之的是弧度,1°=pi/180 弧度

常见泰勒公式：ln(1+x)=x-x^2/2。泰勒公式，应用于数学、物理领域是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

函数（function）的定义一般分为传统定义和近代定义，函数的两个定义实质是一样的，只是叙述概念的出发点不一样，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设这当中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x当中的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。这当中核心是对应法则f，它是函数关系的实质特点

第一，f(x)=ln(1+x) 它在x=0处有意义， 并且满足泰勒公式的条件， ∴ ln(1+x)=x-1/2·x²+1/3·x³-........ 这个你是承认的吧？ 公式中，实际上并没有作出x=0的相关规定的， 【不然，只可以表示ln1=0， 还用泰勒公式有哪些用？】

然后，把x替换成1/x， 就可以以得到你说的公式了！

如f(x)=e^g(x)目前有2种方式：

一种是按定义直接求；

一种是先令t=g(x).先对f(x)=e^t求，在用t=g(x)代换，但是，怎么认为明显不同啊。第一种：f(x)=e^g(x0)+e^g(x0)*e^g′(x0)*(x-x0)+-—

第二种：f(x)=e^t+e^t0*(t-t0)+--； 再把t=g(x)代入：得f(x)=e^g(x0)+e^g(x0)*{g(x)-g(x0)}+-—不清楚为什么？哪错了吗？没错，e^g′(x0)*(x-x0)+-—和)*{g(x)-g(x0)}+-—怎么就差不多的呢？

这要看其泰勒展开的收敛域。

例如e^x展开式的收敛域是R，既然如此那，e^g(x)的以g(x)代入就没问题。

因为这个原因e^(lnx), e^(x+1)^2都可以lnx, (x+1)^2代入。