重复排列公式及其推导，排列组合c(m,n)怎么算

n个排列，第一个有n种可能，后面第二个有n-1可能，然后第三个n-2可能，后一个唯有1种可能。于是得到n个排列种数n!针对每一种排列，都存在m个选中的排列m!， n-m个没有选中的排列(n-m)!种重复的计算。故此，组合数量就是 (总数/重复计算的次数)= n! / m!(n-m)!

Cnm = n! / [(n-m)! * m!]

表示在 n 个东东里取 m 个东东

不限顺序

有几种取法

要取m次

首次可以取的东东有 n 种情况

第二次可以取的东东有 n-1 种情况

...

第m 次可以取的东东有 n-m+1 种情况

按照乘法原理

得取m次的情况有

n*（n-1）*（n-2）...*（n-m+1）= n! / (n-m)!

因为是无序组合故此，要除去重复计算的种类

就是 m！种

得到的公式就是Cnm = n! / [(n-m)! * m!]

Cmn(m上标，n下标)=[n*(n-1)*(n-2)*(n-3)....*（n-m+1]/1*2*3....*m，比如C58=8*7*6*5*4(后一项为8-5+1)/1*2*3*4*5(后一项为m=5)

另外Cmn还有一个特殊的等式Cmn=C（n-m）n【(n-m)为上标，n为下标】，既然如此那，假设m相对较大于一半的n 我们就回采用Cmn=C（n-m）n。

排列组合的公式是排列的定义及其计算公式：从n个不一样元素中，任取m(m≤n,m与n都是自然数,下同）个元素根据一定的顺序排成一列，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的一个排列；从n个不一样元素中取出m(m≤n）个元素的全部排列的个数，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 除开这点，规定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,其实就是常说的6！=6x5x4x3x2x1组合的定义及其计算公式：从n个不一样元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的一个组合；从n个不一样元素中取出m(m≤n）个元素的全部组合的个数，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。C(n,m)=A(n,m)/m！；C(n,m)=C(n,n-m）。（n≥m)其他排列与组合公式 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m!=n!/m!(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,

...nk

标准的排列组合

先看一个例子 (1)：

三个城市 A，B，C，从 A 到 B 有三条路 a₁, a₂, a₃ ，从 B 到 C 有两条路 b₁, b₂，问 从 A 到 C 有多少种走法？

解：

要 从 A 到 C 就 一定要选择一条 A 到 B 的路 a 和 一条 B 到 C 的路 b，然后连成 A 到 C 的路 ab。

a 可以是 a₁, a₂, a₃ 有3种选法，b 可以是 b₁, b₂ 有3种选法，于是按照平日的经验，ab 的可能有：

全部 ab 总共有 3 × 2 = 6 种可能。

这个例子就是 乘法法则：

若具有性质 a 的事件有 m 个，具有性质 b 的事件有 n 个，则 同时具有 性质 a 和 b 的事件有 m × n 个。

因为，

令 a 的 m 个事件为 a₁, a₂, ..., a_m，b 的 n 个事件为 b₁, b₂, ..., b_m，则按照平日的经验，ab 的可能有：

乘法法则，还可以从 两项 扩展到 任意有限多项：

若具有性质 a₁, a₂, a₃, ..., a_n 的事件分别有 m₁, m₂, m₃, ..., m_n 个，则 同时具有 性质 a₁, a₂, a₃, ..., a_n 的事件有 m₁ × m₂ × m₃ × ... × m_n 个。

因为，

然后利用 两项的乘法法则，就得到：

再看一个例子 (2)：

总共有三个球 （1）（2）（3），从中挑选出两个排成一列，问有多少种挑选方案？

解：

挑出两个排成一列，分两步，

先从三个球 中任意 挑出一个球 a 放在序列的早的一位；

再从挑剩下的 二个球 中 中任意 挑出一个球 a 放在序列的第二位；

这样就组成了 ab 的序列。构建 ab 序列的过程 和 例子 (1) 组成路线的过程 类似，因为这个原因 也 满足乘法法则。因为 a 是 3 选 1 有 3 种可能，b 是 2 选 1 有 2 种可能，故此， 构建 ab 序列 有 3 × 2 = 6 种可能，详细请看下方具体内容：

例子 (2) 就是 从 3 中取出 2 的排列，更大多数情况下地定义为：

从 n 个元素 中取出 m(≤ n) 个元素 排成一列，称为 从 m 中取出 n 的 排列，排列的方案个数称为排列数，记为 P(n, m)。

从 m 中取出 n 的 排列的构建过程请看下方具体内容：

按照 乘法法则，有：

P(n, m) = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)

而：

n! = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)(n-m)(n-m-1)...1

(n-m)! = (n-m)(n-m-1)...1

故，

P(n, m) = n!/(n-m)!

比较非常的是：

从 n 中取出 n 个 的排列，就是 对 n 个元素进行各自不同的排列，称为 全排列 ，P(n, n) = n!/(n-n)! = n!/0! = n!；

从 n 中取出 0 个 的排列，称为 零排列 ，P(n, 0) = n!/(n-0)! = n!/n! = 1；

将 例子 (2)，改成 (2')：

总共有三个球，从中挑选出两个不考虑顺序，问有多少种挑选方案？

解：

我们前面已经 计算出了序列 ab 的排列数 P(3, 2)，这里说的不考虑顺序，其实就是常说的说，两个元素 a, b 的各自不同的排列：ab, ba 算一种方案。

两个元素 a, b 的各自不同的排列，就是 2 的全排列，即，P(2, 2)。于是 只 用 P(3, 2) 除以 P(2, 2) 就是 答案了：

P(3, 2) / P(2, 2) = 3!/((3-1)!2!) = 3

例子 (2') 就是 从 3 中取出 2 的组合，更大多数情况下地定义为：

从 n 个元素 中取出 m(≤ n) 个元素 不考虑顺序，称为 从 m 中取出 n 的 组合，组合的方案个数称为组合数，记为 C(n, m)。

按照例子 (2') 中的分析，有：

C(n, m) = P(n, m) / P(m, m) = P(n, m) = n!/((n-m)!m!)

比较非常的：

从 n 中取出 n 个 的组合，C(n, n) = n!/((n-n)!n!) = n!/(0!n!) = n!/n! = 1；

从 n 中取出 0 个 的组合，C(n, 0) = n!/((n-0)!0!) = n!/(n!0!) = n!/n! = 1；

一部分特殊的排列组合

考虑，问题 (3)：3 个人去饭店吃饭，围坐在一张圆桌前，问有多少种坐法？

围坐成圈不一样于排成一列，这是一种新的排列方法，于是定义：

从 n 个元素 中取出 m 个元素 排成一圈，称为 圆周排列，将 圆周排列数 记为 Q(n, m)。

分析：

针对标准排列，可得到的序列：

若将序列排成一圈，

则明显，下面的 m 个排列只可以算一种：

故，

Q(n, m) = P(n, m) / m

按照上面的分析多得出的结论，明显，问题(4) 的答案是 Q(3, 3) = P(3, 3) / 3 = 2，即，顺时针坐 和 逆时针左。

在排列组合中，默认挑选出来的m个元素是不可以重复，但假设允许重复呢？

将 例子 (2')，改成：

总共有三个球，从中挑选出两个不考虑顺序，不过每一次挑选时会将球的号码记录然后将球放回，问有多少种挑选方案？ (2''-1)

有两个箱子，每个箱子里装着完全一样的三个球，从每个箱子里挑选1个不考虑顺序 ，问有多少种挑选方案？ (2''-2)

(2''-1) 和 (2''-2) 实质是一样的，下面以 (2''-1) 作为例子。

分析：

第一，可以用穷举法。（1）（2）（3） 中有放回的挑选2个球 组合，根据从小到大的排列顺序，有请看下方具体内容可能：

（1）（1）、（2）（2）、（3）（3）、（1）（2）、（1）（3）、（2）（3）

共有 6 种。

其次，可以将 有重复组合 转化为 无重复组合，方式请看下方具体内容：

针对任何一次的有重复组合结果，根据 从小到大的排列：

a₁ ≤ a₂

让 原来三个小球中 号码比 a₂ 大的小球的号码 都加 1， 然后 将 小球 a₂ 的号码 也加 1 并 添加到 三个小球 中。

这样以来，就将 从 3 个小球中 有放回的挑选 2 个组合 变为 从 4 个小球 中 无放回的挑选 2个组合。

详细操作请看下方具体内容（黑底为更改过的球）：

将 （1）（2）（3） → （1）（1） 改成 （1）❷❸❹ → （1）❷

将 （1）（2）（3） → （2）（2） 改成 （1）（2）❸❹ → （2）❸

将 （1）（2）（3） → （3）（3） 改成 （1）（2）（3）❹ → （3）❹

将 （1）（2）（3） → （1）（2） 改成 （1）（2）❸❹ → （1）❸

将 （1）（2）（3） → （1）（3） 改成 （1）（2）（3）❹ → （1）❹

将 （1）（2）（3） → （2）（3） 改成 （1）（2）（3）❹ → （2）❹

反过来，针对从 4 个小球 （1）（2）（3）（4），无放回的挑选两个的组合结果，从小到大的排列顺序排列：

a₁ a₂

让 原来 4 个小球 中 号码大于 a₂ 的小球的号码 都减 1，然后 将 a₂ 从 4 个小球 中 去除，并将 a₂ 的号码也 减 1。

这样以来，就将 从 4 个小球中 无放回的挑选 2 个组合 变为 从 3 个小球 中 有放回的挑选 2个组合。

详细操作请看下方具体内容（黑底为更改过的球）：

将 （1）（2）（3）（4） → （1）（2） 改成 （1）❷❸ → （1）❶

将 （1）（2）（3）（4） → （1）（3） 改成 （1）（2）❸ → （1）❷

将 （1）（2）（3）（4） → （1）（4） 改成 （1）（2）（3） → （1）❸

将 （1）（2）（3）（4） → （2）（3） 改成 （1）（2）❸→ （2）❷

将 （1）（2）（3）（4） → （2）（4） 改成 （1）（2）（3） → （2）❸

将 （1）（2）（3）（4） → （3）（4） 改成 （1）（2）（3） → （3）❸

上面的事实说明：

3 取 2 有重复的组合数 ≡ 4 取 2 无重复的组合数，即，C(4, 2) = 6。

将 3 取 2 的情况 扩展到 n 取 m 有：

将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 的结果，根据 从小到大的排列：

a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ ... ≤ a_m (4)

对每个 aᵢ（i = 2, 3, ..., m） 重复一下操作：

让 被挑选数集 还有 (4) 中 全部比 aᵢ 大的数都加 1， 然后 将 aᵢ 加 1，并将 aᵢ 添加到 被挑选数集 中取；

这样以来，就将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 变为 n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合。

反过来，针对 n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合 的结果，根据 从小到大的排列顺序排列：

a₁ a₂ a₃ ... a_m (5)

对每个 aᵢ（i = 2, 3, ..., m） 重复一下操作：

让 被挑选数集 还有 (5) 中 全部比 aᵢ 大的数都减 1， 然后，将 aᵢ 从 被挑选数集 中删除， 并将 aᵢ 在 (5) 中也减 1；

这样以来，n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合 变为 就将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 。

综合上面所说得出，就证明了：

n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 ≡ n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合

后结果：

从 n 个元素 中取出 m 个元素，有重复组合 的组合数为：C(n+(m-1), m)。

试题： 从 A = {1,2, ..., n} 个数 中取 m(≤ [n / 2]) 个，不相邻组合，即，不存在涵盖 i 和 i + 1 的组合，问组合数是多了？

分析：

这里使用类似 有重复组合 的思路，将 不相邻组合 转化为 等价 的 标准组合。方式请看下方具体内容：

针对 从 A 个数 中取 m 个 的不相邻组合 的结果，根据从小到大的顺序排列：

a₁ a₂ a₃ ... a_m (6)

对每个 aᵢ（i = 2, 3, ..., m） 重复一下操作：

让 A 还有 (6) 中 全部大于 aᵢ 的数都减去 1，并将 aᵢ 从 A 删除，后 在 (6) 中 让 aᵢ 减去 1。

这样以来，就将从 A 中取 m 个 的不相邻组合 变为 从 A’ = {1, 2, ..., n - (m-1) } 中取 m 个 的标准组合。

反过来，针对 从 A’ 中取 m 个 的标准组合 的结果，根据从小到大的顺序排列：

a₁ a₂ a₃ ... a_m (7)

对每个 aᵢ（i = 2, 3, ..., m） 重复一下操作：

让 A' 还有 (7) 中 全部大于 aᵢ 的数都加上 1，并将 aᵢ 也加上1 然后添加到 A' 中。

这样以来，就将 从 A’ 中取 m 个 的标准组合 变成 A 中取 m 个 的不相邻组合 。

综合上面所说得出，就证明了：

从 A = 中取 m 个 的不相邻组合 ≡ 从 A’ 中取 m 个 的标准组合

后结果：

从 A = {1,2, ..., n} 个数 中取 m(≤ [n / 2]) 个，不相邻组合　的组合数为：C(n－(m-1), m)。

后，除了以上讲解的这些较为基础的排列组合外，还有非常多的排列组合问题存在，比如：

将 被选择集合 进行分类，例如：分为男女， 然后 对排列组合结果进行限制，例如：男女相等，男女相邻；

总而言之 排列组合的算法按照 详细问题不一样而异，详细在进行解题时要发挥聪明才智，做到灵活多变，不要强行照搬招数和陷阱。

因为整版内容有限，只可以回答到这里了。

（自己数学水平同样有限，故此，出错在所难免，很欢迎广大老师批评指正。）

不是，分子是从5启动递减的两个数字相乘，即5*4；分母为从1启动递增的两个数字，即1*2；故此，结果为5*4÷(1*2)=10； 同理：c53=5*4*3÷(1*2*3)=10 c54=5*4*3*2÷（1*2*3*4）=5

排列公式是建立一个模型，从n个不一样元素中取出m个排成一列（有序），第一个位置可以有n个选择，第二个位置可以有n-1个选择（已经有1个放在前一个位置），则同理就可以清楚的知道第三个位置可以有n-2个选择，从而类推第m个位置可以有n-m+1个选择，则排列数A(n m)=n*(n-1)*(n-2)...*(n-m+1)由阶乘的定义就可以清楚的知道A(n m)=[n*(n-1)*(n-2)...*(n-m+1)]*[(n-m)*(n-m-1)...*1]/[(n-m)*(n-m-1)...*1]上下合并可得A(n m)=n!/(n-m)!组合公式对应另一个模型，取出m个成为一组（无序），可以先考虑排列A(n m)，因为m个元素组成的一组可以有m!种不一样的排列（全排列A(m m)=m!），故此，组合的总数就是A(n m)/m!即为C(n m)=A(n m)/m!=n!/[m!*(n-m)!]

排列组合的公式是排列的定义及其计算公式：从n个不一样元素中，任取m(m≤n,m与n都是自然数,下同）个元素根据一定的顺序排成一列，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的一个排列；从n个不一样元素中取出m(m≤n）个元素的全部排列的个数，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 除开这点，规定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,其实就是常说的6！=6x5x4x3x2x1组合的定义及其计算公式：从n个不一样元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的一个组合；从n个不一样元素中取出m(m≤n）个元素的全部组合的个数，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。C(n,m)=A(n,m)/m！；C(n,m)=C(n,n-m）。（n≥m)其他排列与组合公式 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m!=n!/m!(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,

...nk

排列组合是组合学基本的概念。这里说的排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能产生的情况总数。 排列组合与古典可能性论关系密切。

计算公式：C（n，m）=n!/m!（n-m）!

1.组合是一个数学名词。大多数情况下地，从n个不一样的元素中，任取m（m≤n）个元素为一组，叫作从n个不一样元素中取出m个元素的一个组合。我们把相关求组合的个数的问题叫作组合问题。与之对应的概念是排列。大多数情况下地，从n个不一样元素中取出m（m≤n）个元素，根据一定的顺序排成一列，叫作从n个元素中取出m个元素的一个排列。

是用排列公式证明出来的，从n个互不一样的小球中取出k个的全部取法数就是组合数，把每种组合进行全排列，然后把全部组合的排列数加起来就是从n个中取出k个的排列数。

以此排列数就等于组合数乘每种组合的全排列数，用公式就是：Ank=Cnk*k!而组合数Cnk=Ank/k!证毕！排列数Ank的计算方式是比较容易得出来的，只用一个一个取小球，然后把每一次的取法乘起来就行了，全排列也可同理得出。

至于你问的组合计算公式的原理指的就是从一个特定的对象集里选择一定数目标对象的全部选法的个数，在可能性论里有讲解