复合变限积分求导公式，二重积分积分限变换

变限积分求导公式为：F(x) = ∫(a,x) xf(t) dt

F(x) = x∫(a,x) f(t) dt

F(x) = ∫(a,x) f(t) dt + x * [x * f(x) - a * f(a)]

= (1/x)F(x) + x * [1 * f(x) - 0 * f(a)]，下限a的导数是0，故此，整体都会变为0

= (1/x)F(x) + xf(x)



拓展信息

求导须知：

（1）区间a可为-∞，b可为+∞；

（2）此定理是变限积分的重要，要优先集中精力的性质，掌握并熟悉此定理需要大家特别注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。

原函数存在定理

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

假设上限x在区间[a,b]上任意变化，则针对每一个取定的x值，定积分有一个对应值，故此，它在[a,b]上定义了一个函数，那就是积分变限函数。

积分变限函数是一类重要的函数，它著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．其实，积分变限函数是出现新函数的重要工具，特别是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，在不少场合都拥有重要的应用。

对积分上限函数求导时要把g(x)代入f(t)g(t)中，

即用g(x)代换f(t)g(t)中的t

然后再对定积分的上限g(x)对x求导

即

F'(x)=f[g(x)]*φ[g(x)]*g'(x)

实际上就是用变限积分求导公式，因为0到根号y上积分arctan[cos(3x+5根号)]dx其实是y的函数，不妨令成f(y)，按照变限积分求导公式，0到t²上积分f(y)dy的导数是2tf(t²)，于是第一行二重积分对t求导得到的式子含因式2t，因为f(y)是0到根号y上积分arctan[cos(3x+5根号)]dx，f(t²)其实就是把全部的y换成t²，得到第二行，由极限号，t＞0，开方得第三行

变上限积分求导公式：即∫f(t)dt（积分限a到x），按照映射的观点，每给一个x就积分出一个实数，因为这个原因这是有关x的一元函数，记为g(x)=∫f(t)dt（积分限a到x），注意积分变量用什么符号都影响不了积分值，改用t是为了不与上限x混淆。

变上限积分求导公式

证明过程

目前用导数定义求g(x)，按照定义，g(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h（h趋于0，积分限前者为a到x+h，后者为a到x）=lim∫f(t)dt/h（积分限x到x+h，按照的是积分的区间可加性），按照积分中值定理，存在ξ属于(x,x+h)，让∫f(t)dt/h=f(ξ)h，又因为h趋于0时ξ是趋于x的，故极限=limf(ξ)h/h=f(x)，至此证明了g(x)=f(x)。

常见的是变上限函数的积分，即∫f(t)dt（积分限a到x），按照映射的观点，每给一个x就积分出一个实数，因为这个原因这是有关x的一元函数，记为g(x)=∫f(t)dt（积分限a到x），注意积分变量用什么符号都影响不了积分值，改用t是为了不与上限x混淆。

目前用导数定义求g'(x)，按照定义，g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h（h趋于0，积分限前者为a到x+h，后者为a到x）=lim∫f(t)dt/h（积分限x到x+h，按照的是积分的区间可加性），按照积分中值定理，存在ξ属于(x,x+h)，让∫f(t)dt/h=f(ξ)h，又因为h趋于0时ξ是趋于x的，故极限=limf(ξ)h/h=f(x)，至此证明了g'(x)=f(x)。

先将积分限带进积分函数，再对积分限进行求导，假设积分函数带有自变量，想办法故将他弄到积分号外面来。积分上限函数，设函数在区间上连续，并且设为上的一点，考察定积分。

积分上限函数的自变量是上限变量，在求导时是有关x求导，但是在求积分时，则把x当成常数，积分变量t在积分区间上变化。积分上限函数对x求导后的结果为 f（x）。

[∫[0,x] f(t)dt]=f(x)即：变化上限积分 对 变化上限 的导数,等于将变化上限带进被积函数.例子：F(x)=∫[0,x] sint/t dt 尽管 sint/t 的原函数 F(x) 没办法用初等函数表示,但F(x)的导数却可以按照【变化上限积分求导法则】算出：[F(x)]=[∫[0,x] sint/t dt ]=sinx/

x大多数情况下形式的【变化上限积分求导法则】为：【∫[φ(x) ,ψ(x)] f(t)dt】 = f(φ(x))φ(x)-f(ψ(x))ψ(x)

[∫（g（x），c）f（x）dx]'=f（g（x））*g'（x），g（x）为积分上限函数。积分上限为函数的求导公式=被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数。

积分下限 为负无穷，就把他当成一个数，通过牛顿莱布尼茨公式，带进求完全就能够了

积分上限函数又称变上限积分。

比如∫f(t)dt，这当中上限为某一变量x，下限为某一常量a，假定f(t)的原函数为F(t)，则上面说的变上限积分就等于F(x)-F(a)，该积分明显是x的函数，这当中F(a)为常数。目前对变上限积分求导就是对F(x)-F(a)求导，很明显等于f(x)。

假设积分上限为x的某一函数g(x)，则变上限积分就等于F[g(x)]-F(a)，对其求导就得到f[g(x)]g(x)。

扩展资料：

积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式，故此，我们只讨论积分变上限函数就可以。

积分变限函数与之前所接触到的全部函数形式都很明显不同。第一，它是由定积分来定义的；其次，这个函数的自变量出现在->积分上限或积分下限。