黄金母函数定义，6大母函数图像

黄金母函数就是生成函数是组合数学中特别是计数方面的一个重要理论和工具。生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，这当中普通型用的非常多。形式上说，普通型生成函数用于处理多重集的组合问题，而指数型母函数用于处理多重集的排列问题。

母函数还可以处理递归数列的通项问题（比如使用母函数处理斐波那契数列的通项公式）。

六大母函数是指指数函数，对数函数，幂函数，二次函数，一次函数，反比例函数。他们的共同点是：都经过点（1，1）

它们图像的趋势为：一次函数反比例函数二次函数指数函数对数函数幂函数。其实就是常说的说一次函数图像增长的慢，幂函数图像增长的快。

泊松分布为离散分布，密度函数f(k)=(λ^k)/(k!)e^(-λ)(k=0,1,2,…，∞）。其矩母函数Mx(t)=E[e^(tx)]=∑e^(tk)f(k)=∑e^(tk))(λ^k)/(k!)e^(-λ)=e^(-λ)∑[(λe^t)^k)]/(k!)=e^[λ(e^t-1)]。　　　指数分布是连续分布，密度函数f(x)=λe^(-λx)，x∈(0,∞）。其矩母函数Mx(t)=E[e^(tx)]=∫(0,∞)e^(tx)f(x)dx=λ∫(0,∞)e^[-(λ-t)x)dx=λ/(λ-t) (tλ)。供参考。

　　解：泊松分布为离散分布，密度函数f(k)=(λ^k)/(k!)e^(-λ)(k=0,1,2,…，∞）。其矩母函数Mx(t)=E[e^(tx)]=∑e^(tk)f(k)=∑e^(tk))(λ^k)/(k!)e^(-λ)=e^(-λ)∑[(λe^t)^k)]/(k!)=e^[λ(e^t-1)]。　　　指数分布是连续分布，密度函数f(x)=λe^(-λx)，x∈(0,∞）。其矩母函数Mx(t)=E[e^(tx)]=∫(0,∞)e^(tx)f(x)dx=λ∫(0,∞)e^[-(λ-t)x)dx=λ/(λ-t) (tλ)。供参考。

母小波是一类具有迅速衰减有限长的波函数，将母函数伸缩、平移得到的一系列函数就是小波基函数，用其来构建信号，并利用固有特点使信号易于处理。

a的x次幂，a＞0且a≠1。

随机变量X的矩量母函数的定义为：

连续随机变量X的矩量母函数为：Mx(t)=E(exp(tx))=∫exp(tx)*f(x)dx,这当中积分下限为-∞，上限为+∞，f(x)为X的可能性密度函数(Probability Density Function, 简称PDF)。

离散型随机变量X的矩量母函数为：Mx(t)=E(exp(tx))=∑exp(tx)*p(x),这当中连加号代表全部X的取值(-∞,+∞)连加，p(x)为X的可能性分布函数(Probability Mass Function, 简称PMF)。

矩量母函数存在当且仅当上面说的积分(连加)极限存在。