关于方差的所有性质及规律，方差加减性质公式推导

方差是指对一组样本数据分析整体个体当中的差异分布值，具有整体性，取样性

若两个随机变量X和Y相互独立，既然如此那，两个随机变量的和的方差等于各自方差的和：

D(X+Y) = D(X)+D(Y)

这是因为：D(X+Y) = E{(X+Y)-[E(X)+E(Y)]}^2

= E{[X-E(X)]+[Y-E(Y)]}^2

= E[X-E(X)]^2 + 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} + E[Y-E(Y)]^2

= D(X) + D(Y) + 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

= D(X) + D(Y)

这是因为 X、Y相互独立，E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0

因为这个原因： D(X+Y) = D(X)+D(Y)

统计学意义

当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动很大）时，各个数据与平均数的差的平方和很大，方差就很大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因为这个原因方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。

样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

方差计算为：

一、方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。

二、方差是数学统计学中的重要公式，应用于生活中各自不同的事情，方差越小，代表这组数据越稳定，方差越大，代表这组数据越不稳定。

三、方差是描述随机变量针对 数学希望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X )。

离散型随机变量的方差：D(X) = E{[X - E(X)]^2}

.(1)=E(X^2) - (EX)^2.(2)(1)式是方差的离差表示法,假设LZ不懂,可以记忆（2）式（2）式表示：方差 = X^2的希望 - X的希望的平方X和X^2都是随机变量，针针对某次随机变量的取值， 比如： 随机变量X服从“0 -1”：取0可能性为q，取1可能性为p，p+q=1 则： 针对随即变量X的希望 E(X) = 0*q + 1*p =p 同样针对随即变量X^2的希望 E(X^2) = 0^2 * q + 1^2 * p = p故此，由方差公式（2）得：D(X) = E(X^2) - (EX)^2 = p - p^2 = p(1-p) = pq不管针对X或者X^2，都是一次随机变量，或者一次实验，不是什么未知的函数哦，要运用试题的随机变量究竟是服从什么分配，然后才可以判断出该随机变量具有哪些性质或者可以得出什么条件！

当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动很大）时，各个数据与平均数的差的平方和很大，方差就很大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因为这个原因方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。

样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

方差D=d^2（d为均方差）

D(x)=E{[x-E(x)}^2}=E{x^2-2xE(x)+[E(x)]^2}=E(x^2)-2E(x)E(x)+[E(x)]^2

=E(x^2)-[E(x)]^2

离差平方和计算公式为：SA=(ⅠA2+ⅡA2+ⅢA2-G2/3)/3，这当中G=y1+y2+…+y9，y为指标值，离差平方和是各项与平均项之差的平方的总和。

离差平方和的定义是：设x是一个随机变量，令η=x-Ex，则称η为x的离差，它反映了x与其数学希望Ex的偏离程度。

方差公式：方差大小算是：每一个变量（观察值）与整体均数当中的差异。为不要产生离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采取平均离均差平方和来描述变量的变异程度。整体方差计算公式：离散型随机变量方差计算公式：D（X）=E{[X-E（X）]^2}=E（X^2）-[E（X）]^2；连续型随机变量X方差计算公式：D（X）=（x-μ）^2f（x）dx。扩展资料：方差的性质：1、设C是常数，则D（C）=02、设X是随机变量，C是常数，则有3、设X与Y是两个随机变量，则这当中协方差非常的，当X，Y是两个不有关的随机变量则，此性质可以推广到有限多个两两不有关的随机变量之和的情况。

方差是实质上值与希望值之差平方的平均值，而标准差是方差平方根。

方差和标准差：

样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

数学上大多数情况下用E{[X-E(X)]^2}来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度，称为X的方差。

定义

设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]^2}，而σ(X)=D(X)^0.5（与X有一样的量纲）称为标准差或均方差。

由方差的定义可以得到以下经常会用到计算公式：

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

方差的哪些重要性质（设一下各个方差均存在）。

（1）设c是常数，则D(c)=0。

（2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=c^2D(X)。

（3）设X，Y是两个相互独立的随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。

（4）D(X)=0的充分必要条件是X以可能性为1取常数值c，即P{X=c}=1，这当中E(X)=c。

标准差(Standard Deviation)

各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数，它是离差平方和平均后的方根。用σ表示。因为这个原因，标准差也是一种平均数

标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数一样的，标准差未必一样。

比如，A、B两组各有6位学生参与同一次语文测验，A组的成绩为95、85、75、65、55、45，B组的成绩为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.08分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生当中的差距要比B组学生当中的差距大得多。

方差的计算公式为S^2=1/n[（x1-x）^2+（x2-x）^2+……+（xn-x）^2]。这当中x为这组数据中的数据，n为大于0的整数。

方差的含义

方差是在可能性论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。可能性论中方差用来度量随机变量和其数学希望（即均值）当中的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与我们全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在不少实质上问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。

方差公式：

标准方差公式(1)：

标准方差公式(2)：

比如 两人的5次测验成绩请看下方具体内容：X： 50，100，100，60，50，平均值E(X)=72；Y：73， 70，75，72，70 平均值E(Y)=72。

平均成绩一样，但X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量针对数学希望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为E(X)：直接计算公式分离散型和连续型。

推导另一种计算公式得到：“方差等于各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数”。这当中，分别是离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。

扩展资料：

性质：

1、设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；

2、D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取，C为常数，X为随机变量）；

证：非常地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值）

3、若X 、Y 相互独立，则，证：记

前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为

当X、Y 相互独立时，故第三项为零。非常地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

若x1,x2,x3......xn的平均数为M，则方差公式可表示为：