不等公式的解法，三元基本不等式公式推导过程

含绝对值不等式（重要是去除绝对值）

在不等式应用中，常常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（认真数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。

公式：||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|

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整式不等式

整式不等式两边都是整式（即未知数不在分母上）。

一元一次不等式：含有一个未知数(即一元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。如3-x0

同理，二元一次不等式：含有两个未知数(即二元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。

根轴法（零点分段法）

1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边的高次项系数为正)；

2） 分解因式；

3） 标根（令每个因式为0，得出对应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取的根打实心点，不可以去的打空心）；

4） 穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不可以穿过)；

一元二次不等式解法步骤：

1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边的高次项系数为正)；

2） 第一考虑分解因式；不易分解则判断，当时解方程（利用求根公式）

3） 画图写解集（能取的根打实心点，不可以去的打空心）

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分式不等式

与分式方程类似，像f(x)/g(x)0或f(x)/g(x)0（这当中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0）这样，分母中含有未知数的不等式

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指数、对数不等式

对数不等式是一种两边由对数构成的不等式

指数不等式是指数中含有未知数的不等式叫指数不等式。

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不等式组的口诀解法

（一）同大取大

假设两个不等式的解集都是大于某数时，既然如此那，不等式的解集就是大于大数

（二）同小取小

假设两个不等式的解集都是小于某数时，既然如此那，不等式组的解集就是小于小数

（三）大小小大中间找

假设不等式组中的一个不等式的解集是大于小数，另一个不等式的解集是小于大数，既然如此那，这个不等式组的解集就是小数与大数当中的部分

（四）大大小小没有找到

假设不等式组中的一个不等式的解集是大于大数，另一个不等式的解集是小于小数，既然如此那，不等式组就是无解

三元基本不等式公式为

ab+bc+ca≥3*(abc)⅔当且仅当ab=bc=ca时不等号取等，三元基本不等式公式证明：假设a，b，c∈R，既然如此那，a³+b³+c³≥3abc，当且仅当a=b=c时，等号成立；假设a，b，c∈R+，既然如此那，（a+b+c）/3≥³√（abc），当且仅当a=b=c时，等号成立。

大多数情况下地，用纯粹的大于号“”、小于号“”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号

均值定理又称基本不等式，它有六个公式

（Mean value theorem）：已知x，y∈R+，x+y=S，x·y=P(1)假设P是定值，既然如此那，当且仅当x=y时，S有小值；(2)假设S是定值，既然如此那，当且仅当x=y时，P有大值。或当a、b∈R+，a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab (定值）当且仅当a=b时取等号 。（3）设X1，X2，X3，……，Xn为大于0的数。则X1+X2+X3+……+Xn≥n乘n次根号下X1乘X2乘X3乘……乘Xn（一定要熟练掌握并熟悉）当a、b、c∈R+， a + b + c = k（定值）时， a+b+c≥3*(3)√(abc)即abc≤((a+b+c)/3)^3=k^3/27 (定值） 当且仅当a=b=c时取等号。 求x+y-1的小值。(x，y≥0)分析：运用均值定理。∵x+y≥2√xy。 ∴x+y-1≥2√xy -1均值定理特点：一正：各部分为正数二定：不等号左或右是定值三相等：等号可以获取

均值定理四个公式：a0b0时，a+b≥2√ab，ab≤[(a+b)/2]²。a+b+c≥3*√(abc)，abc≤((a+b+c)/3)^3=k^3/27(定值）等。详细请看下方具体内容：

已知x，y∈R+，x+y=S，x·y=P

1、假设P是定值，既然如此那，当且仅当x=y时，S有小值；

2、假设S是定值，既然如此那，当且仅当x=y时，P有大值。

或当a、b∈R+，a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab(定值）当且仅当a=b时取等号。

3、设X1，X2，X3，……，Xn为大于0的数。

则X1+X2+X3+……+Xn≥n乘n次根号下X1乘X2乘X3乘Xn。

当a、b、c∈R+，a+b+c=k（定值）时，a+b+c≥3*√(abc)。

即abc≤((a+b+c)/3)^3=k^3/27(定值），当且仅当a=b=c时取等号。

例题：求x+y-1的小值。

分析：此题运用了均值定理。

x+y≥2√xy。

x+y-1≥2√xy-1。

4、均值定理特点：

一正：各部分为正数。

二定：不等号左或右是定值。

三相等：等号可以获取。

绝对值三角不等式定理：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。三角不等式，也就是在三角形中两边之和大于第三边，有的时候，亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。

绝对值三角不等式定理

三角不等式定理

三角不等式定理

绝对值三角不等式公式

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。

一个是||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，这个不等式当a、b同方向时（假设是实数，就是正负满足一样）|a+b|=|a|+|b|成立。当a、b异向（假设是实数，就是ab正负满足不一样）时，||a|-|b||=|a±b|成立。

另一个是||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|，这个等号成立的条件刚好和前面相反，当a、b异向（假设是实数，就是ab正负满足不一样）时，|a-b|=|a|+|b|成立。当a、b同方向时（假设是实数，就是正负满足一样）时，||a|-|b||=|a-b|成立。

绝对值公式:1.正数的绝对值是它本身。2.零的绝对值还是零.

3.负数的绝对值是它的相反数.

1、假设xy，既然如此那，yy；（对称性)；

2、假设xy，yz；既然如此那，xz；（传递性）；

3、假设xy，而z为任意实数或整式，既然如此那，x+zy+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；

4、假设xy，z0，既然如此那，xzyz ,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；

5、假设xy，z0，既然如此那，xz

6、假设xy，mn，既然如此那，x+my+n；

7、假设xy0，mn0，既然如此那，xmyn；

8、假设xy0，既然如此那，x的n次幂y的n次幂（n为正数)，x的n次幂