阿贝尔第一定理的证明过程，贝叶斯悖论

1. 定理设mathf(z)= \\sum_{n \\geq 0} a_n z^n/math为一幂级数，其收敛半径为R。若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数mathz_0/math，级数math\\sum_{n\\geq 0} a_n z_0^n/math收敛，则有: math\\lim_{t\o 1^-} f(t z_0) = \\sum_{n \\geq 0} a_n z_0^n/math。若math\\sum_{n \\geq 0} a_n R^n/math收敛，则结果明显成立，没必要引用这定理。2. 例子和应用阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。方式是通过在级数每项后加上mathx^n/math项，将问题转换为幂级数求和，后再计算 x 趋于 1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理就可以清楚的知道，这个极限就是原级数的和。1.为计算收敛级数math \\sum_{n \\geq 1} \\frac{(-1)^{n+1}}{n} /math，设mathf(x)= \\sum_{n \\geq 1} \\frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \\log (1+x)/math。于是有math\\sum_{n \\geq 1} \\frac{(-1)^{n+1}}{n} = \\lim_{x \o 1^-} f(x) = \\log 2 /math2.为计算收敛级数math\\sum_{n \\geq 0} \\frac{(-1)^n}{2n+1}/math，设mathg(x)= \\sum_{n \\geq 0} \\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \\arctan (x)/math。因为这个原因有math\\lim_{x \o 1^-} g(x) = \\arctan (1) = \\frac{\\pi}{4} = \\sum_{n \\geq 0} \\frac{(-1)^n}{2n+1}/math

十七世纪后期，英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别独立创建了微积分学，成为处理很多问题的重要而有力的工具，并在实质上应用中取得了巨大成功，然而微积分学出现伊始，迎来的并不是全是掌声，在当时它还受到了不少人的强烈攻击和指责，因素在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。

1734年，大主教乔治·贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家：或一篇致一位不信神数学家的论文，这当中审核查验一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。

在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因为这个原因，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目标，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷是切中要害的。

乔治·贝克莱，1685年3月12日出生于爱尔兰基尔肯尼郡，1753年1月14日卒于牛津。少年早熟，15岁考进都柏林三一学院，1704年获学士学位，1707年获硕士学位，留校担任讲师、初级研究员。1709年刊行《视觉新论》，1710年发表《人类知识原理》，1713年出版《海拉斯和斐洛诺斯的对话三篇》，均成为当时英国各大学热烈讨论的问题。1734年被任命为爱尔兰基尔肯尼地区主教，任职18年，仍为哲学的思辨。1752年移居牛津附近的新学院。

贝克莱悖论简介

数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表达为“无穷小量究竟是不是为零”的问题：就无穷小量在当时实质上应用来说，它一定要不仅是0，又不是0.但从形式逻辑来说，这无疑是一个矛盾。

针对无穷小量所带来的数学本身非逻辑非严谨性的问题，那些曾详细从事微积分研究的数学家们早就有过各种各样的思考，在他们当中并展开过激烈的讨论和争论。从数学的的视角看，如何很好地理解这一问题可能可以被看成一个纯技术性的问题；但是从文化的的视角看，我们又唯有从更为广泛的的视角去进行考察，非常是密切联系当时在欧洲人生活中占重要地位的基督教文化，才可以更好地理解紧跟无穷小运算所展开的激烈争论及其内涵。

贝克莱悖论的影响

伴随着大家科学理论与实践认识的提升，十七世纪基本上在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许不少多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是，不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用反而混乱的。因而，从微积分诞生时就受到了一部分人的反对与攻击。这当中攻击猛烈的是英国大主教贝克莱，也正是贝克莱悖论的“无穷小量究竟是不是为零”的问题导致了第二次数学危机。

“无穷小量究竟是不是为零”问题的处理

一直到十九世纪二十年代，一部分数学家才启动比较特别要注意关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作启动，后由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，差不多处理了矛盾，为数学分析夯实了一个严格的基础。

波尔查诺不仅承认无穷小数和无穷大数的存在，而且，给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量启动，认识到函数未必要有剖析解读表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷非常多都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。

在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了这当中不确切的地方，给出现在->通用的ε-δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，以此克服了危机和矛盾。

十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且，在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，以此使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。

同时，威尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。这个发现还有后来不少病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而一定要诉诸严格的概念及推理。由此，第二次数学危机使数学更深入透彻的探讨数学分析的基础-实数论的问题。这不仅致使集合论的诞生，并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题，而这正是二十世纪数学基础中的首先问题。

1.第一，拿到一个数项级数，我们先判断其是不是满足收敛的必要条件： 若数项级数收敛，则n→+∞时，级数的大多数情况下项收敛于零。 （该必要条件大多数情况下用于验证级数发散，即大多数情况下项不收敛于零。 )

2.若满足其必要性。 ，我们判断级数是不是为正项级数： 若级数为正项级数，则我们可以用以下的三种判别方式来验证其是不是收敛。 （注： 这三个判别法的前提一定要是正项级数。 )

3.若不是正项级数，则 我们可以判断该级数是不是为交错级数：

4.若不是交错级数，我们可以再来判断其是不是为绝对收敛的级数：

5.假设既不是交错级数又不是正项级数，则针对这样的大多数情况下级数，我们可以用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法来判断。

、级数收敛则其部分和数列极限存在，以此部分和数列有界；针对正项级数，假设部分和数列有界，按照枯燥乏味有界原理其收敛，以此级数收敛，针对其他级数部分和有界不可以保证级数收敛。



2、级数绝对收敛，表示级数是有意义的，一个函数在特定的区域可以用另一组函数求和表示，例如泰勒展开，z变换等等；还有哪些非常重要的性质，级数求和与求导可以交换，与定积分可以交换，极限与求和可交换。条件收敛的级数求和你要小心，通过改变求和顺序可以逼近任何值，故此，没有意义。



3、数列是一个一个点是离散的，数列收敛算是当n足够大时，后面的点都挤在了一起。级数是数列的和，假设n是实数而不是正整数，那“级数”就是一个连续的函数，级数收敛一般是指n为无穷大时，数列的和为一个数。



光源原理阿贝定律证明是将各个衍射斑当成新的光源,发出的各个球面次波在像平面上进行相干叠加,那就是阿贝成像原理。可以用数学方式说明。 物的光波为: =...方式是通过在级数每项后加上mathx^n/math项，将问题转换为幂级数求和，后再计算 x 趋于 1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理就可以清楚的知道，这个极限就是原级数的和。

泛函不等式新进展

俄罗斯人民友谊大学的客座教授Durvudkhan Suragan和他的团队Team已经得到并证明了一类新的泛函不等式。哈代不等式是一类数学物理中重要的问题。研究的结果发表在《数学进展》(Advances in Mathematics)杂志上。

这里说的哈代不等式(Hardys inequalities)的性质已经被全世界的数学家研究了将近一个世纪。它们是级数和积分当中某种特定的关系。在泛函分析中哈代不等式被当做工具用来研究数学和力学中的不少问题。同时在退化微分方程理论（椭圆型偏导数）、谱理论、非线性分析还有插值理论中具有应用。

哈代不等式的还有其他的类似问题的研究主要是在欧几里得向量空间中进行的。

从更高等的数学的视角来看，欧几里得空间是一个给定点乘运算的集合，集合可以由任意元素构成。二维和三维空间是欧几里得空间中特殊的情况。鲁德大学的团队Team拓展了哈代不等式的理论，通过一种更复杂的数学对象-齐性拓扑群来进行研究。

一个集合被称作拓扑群，假设它不仅是一个拓扑空间也是一个群，同时乘积算子和取逆元素的运算是连续的。一类拥有特殊性质的子集（拓扑）构成了拓扑空间。除了这些子集，拓扑涵盖了任意数量的这些子集的并集，，还有交集（仅限于有限个子集）和空集。一个群结构的存在算是这个集合有着有关的代数运算，它涵盖这里说的的“恒等元”（在乘法中有1的性质），还有全部的元素都拥有逆元。

现有的在一个齐性拓扑群中建立泛函不等式方式是根据研究范数的性质。数学中的范数是一个满足特定要求的非负复合函数。复数的模和向量长度是简单的范数例子。研究作者提出的新方式允许使用随机范数，而不是过去使用的严格确定和固定复合函数。

团队Team的研究结果是在齐性群上建立了一类新的哈代不等式类型。它的一个特殊应用就是阿贝尔群上的分析学。阿贝尔性（或者交换性）表现为一个群运算的结果独立于元素的顺序。一个有关交换性的特殊例子就是大家现在都知道的法则“改变求和数的求和顺序不会改变和”。科学家指出新的获取公认的不等式可能被应用在非线性微分方程理论中。

Weierstrass定理可以证明。一般情况下就是：在收敛域内找任意一条简单闭曲线L（曲线包围区域也属于收敛域），计算和函数在该曲线上的积分，因为是幂级数，因为这个原因级数在收敛域内内闭完全一样收敛于和函数(阿贝尔定理) ，因为这个原因积分和求和符号可以交换次序，因为幂级数每一项都是剖析解读的（积分为0）， 故此，和函数的积分为0。因为L是任意取的，由Morera定理，和函数剖析解读。