正态分布的期望和方差怎么求，两个标准正态分布相加的方差

如下图

这样就正好凑出了均值的定义式,证明了均值就是u.(2)方差 两边对t求导：

正好凑出了方差的定义式,从而结论得证.

求期望：ξ

期望：Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn

方差：s? 方差公式：s?1/n[(x1-x)?(x2-x)?……+(xn-x)瞉

注：x上有“-”

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

两个正态分布的任意线性组合仍服从正态分布（可通过求两个正态分布的函数的分布证明），此结论可推广到n个正态分布 。

例如：

设两个变量分别为X,Y，那么E（X+Y）=EX+EY;E(X-Y)=EX-EY

D(X+Y)=DX+DY;D(X-Y)=DX+DY。

正态分布公式y=(1/o√2n)e^-(x-u)^2/2o求期

望：3期望：E￡=x1p1+x2p2+......+xnpn 方差：s2 方差公式：s2=1/n[(x1-x)2+(x2-x)2+......+(xn-x)2]注：x上有“-”概率的方差s2=各数值减平均数诚意相应概率的平方然后相加

先从正态总体中抽取样本，然后计算样本方差，再由样本方差去估计正态分布的方差。

在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）为试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

方差为各个数据与平均数之差的平方的和的平均数。

当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。

样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数为样本方差；样本方差的算术平方根为样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

方差和标准差为测算离散趋势重要、常用的指标，它是测算数值型数据离散程度的重要的方法。标准差为方差的算术平方根，用S表示。

正态分布，也称“常态分布”，又名高斯分布，早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

方差

方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。

方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。

设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

其实就是均值是u，方差是t^2。

于是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t（*）

积分区域是从负无穷到正无穷，下面出现的积分也都是这个区域。

（1）求均值

对（*）式两边对u求导：

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得：

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆开，再移项：

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是

∫x*f(x)dx=u*1=u

这样就正好凑出了均值的定义式，证明了均值就是u。

(2)方差

过程和求均值是差不多的，我就稍微略写一点了。

对(*)式两边对t求导：

∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移项：

∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

也就是

∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

正好凑出了方差的定义式，从而结论得证。

正态分布的方差f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]，

正态分布的方差f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]。

是正态分布,原因：设X,Y均为正态分布,均值方差分别为uX,uY和varX和varY, 则-Y也为正态分布,其均值方差为-uY和varY, 所以由两个独立正态随即变量的和仍为正态的,得知X-Y服从均值为X-Y,方差为varX+varY的正态分布.