绝对值不等式6个基本公式，绝对值不等式性质及公式

绝对值不等式的公式为：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示。|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。绝对值不等式的公式为：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

绝对值重要不等式推导过程：

我们知道|x|={x，(x0);x，(x=0);-x，(x0);

因此，有：

-|a|≤a≤|a|......①

-|b|≤b≤|b|......②

-|b|≤-b≤|b|......③

由①+②得：

-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|

即|a+b|≤|a|+|b|......④

由①+③得：

-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|

即|a-b|≤|a|+|b|......⑤

另：

|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|

|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|

由④知：

|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|=|a|-|b|≤|a+b|.......⑥

|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a|=|a|-|b|≥-|a+b|.......⑦

|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|=|a|-|b|≤|a-b|.......⑧

|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|=|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨

由⑥，⑦得：

| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩

由⑧，⑨得：

| |a|-|b| |≤|a-b|......⑪

综合④⑤⑩⑪得到有关绝对值的重要不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

要注意等号成立的条件（特别是求值），即：

|a-b|=|a|+|b|→ab≤0

|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0

|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0

注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0

同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0。

| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|

| |a|-|b| | ≤ |a±b| ≤ |a| + |b|是由两个双边不等式组成。

一个是| |a|-|b| | ≤ |a+b| ≤ |a| + |b|，这个不等式当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同） |a+b| = |a| + |b|成立。当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，| |a|-|b| | = |a±b|成立。

另一个是| |a|-|b| | ≤ |a-b| ≤ |a| + |b|，这个等号成立的条件刚好和前面相反，当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，|a-b| = |a| + |b|成立。当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同）时，| |a|-|b| | = |a-b|成立。

| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b|

绝对值不等式公式

一．定义与公式

定义：绝对值不等式，指非负数的不等式运算。绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“||”来表示。

绝对值不等式公式：||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

性质：

1、ΙabΙ=ΙaΙΙbΙ，|a/b|=|a|/|b|(b≠0)；

2、|a||b|可逆推出|b||a|；

3、∥a|−Ib∥≤la+b|≤la|+lb|当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立；

4、|a−b|≤|a|+|−b|=|a|+|−1|∗|b|=|a|+|b|；

二．例题

经典例题：

对任意实数x，若不等式|x+1|−|x−2|k恒成立，则实数k的取值范围是( )。

A.k3 B.k-3 C.k≤3 D.k≤-3

解：|x+1|−|x−2|的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离的差，其小值为-3

∴.k-3,：选B.

在不等式应用中，经常涉及重量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。

公式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

性质

|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。

两个重要性质：

1.|ab|=|a||b|;|a/b|=|a|/|b|

2.|a|＜|b| 可逆 asup2;＜bsup2;

另外还有

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立。

|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时左边等号成立，ab≤0时右边等号成立。

高中数学绝对值不等式公式为：||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|。

表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值，写作|a|。当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。

绝对值不等式的两个重要性质：

1、|ab| = |a||b|

|a/b| = |a|/|b| （b≠0）

2、|a||b| 可逆推出 |b||a|

||a| - |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|，当且仅当 ab≤0 时左边等号成立，ab≥0 时右边等号成立。

|a|≥a

|a|≥b 等价于a≥b或a≤-b 还等价于a的平方≥b的平方

丨a＋b丨≤｜a丨十丨bl，丨a一b丨≤丨a丨十｜b丨。

一类:|a|≥a取"="的条件是a≥0|a|≥-a取"="的条件是a≤0二类:三角形不等式:基本式:|a+b|≤|a|+|b| 取"="的条件是ab≥0其它:|a-b|≤|a|+|b| 取"="的条件是ab≤0(变形为|a+(-b)|≤|a|+|-b| 再用基本式得到)|a+b|≥|a|-|b| 取"="的条件是(a+b)b≤0(变形为|a+b|+|-b|≥|(a+b)+(-b)| 再用基本式得到)|a-b|≥|a|-|b| 取"="的条件是(a-b)b≥0(变形为|a-b|+|b|≥|(a-b)+b| 再用基本式得到)

可以用大于或两边，小于夹中间的原则去掉不等式中的绝对值号。

在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。

公式：||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|

1、当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。

2、当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)