旋转体体积公式，高等数学旋转体体积公式

将图形想象成无数个超级小的圆柱体叠在一起，则dV=πr^2dx或dy，其中r根据函数和旋转轴确定，dx或dy由旋转轴的选择确定。一般情况下（即y用x表示），绕x轴或y=a旋转时，用圆盘法

例如y=x^2与y=2和y轴围成的图形绕y轴旋转，则r=√(y)，选择dy，积分上下限为0到2

y=x^2与x=2和x轴围成的图形绕x轴旋转，则r=x^2，选择dx，积分上下限为0到2

假如旋转体中，每一层都是两个同心圆围成的区域，即整个旋转体类似于一个甜甜圈，则

其中f(x)离旋转轴y=a更远

求由x轴与y=lnx，x=e所围图形绕x=e旋转一周所得旋转体的体积。 解： 你可能没搞明白这种计算方法的实质含意。其运算原理是这样的：在旋转体上距y轴的距离 为x处取一厚度为dx，旋转半径为(e-x)的薄壁园筒，园筒的高度y=lnx；此薄壁园筒的微体 积dV=2π(e-x)lnxdx；故总体积V： 【在你的计算式中，只有园筒的高度和厚度，没有旋转半径，因此算出来的是你画阴影线的截面的面积，而不是该面积绕轴x=e旋转出来的体积，所以是错的。】

给你个旋转体体积的几何公式：v=2π G S其中G为旋转平面重心到旋转轴的距离，S为旋转平面的面积，注意旋转面需要全部转换到旋转轴的同一侧 。证明方法可以用几何方法，初中知识就可以证明。

绕x轴旋转：

将f（x）在其x的区间分成N段（N很大），每段的长度记为dx，再在分段点上沿垂直于x轴的方向切开。这样就有N段圆柱体，每段圆柱体的体积V=dx×Pi×r*r

Pi是派，r是y，也就是f（x），V=dx×f(x)×f(x)×Pi。

再把N段的体积加起来，要用到积分的知识，V=∫f(x)×f(x)×PI×dx

绕y轴旋转：

同理，V=∫x×x×PI×dy



体积的单位换算：

1、1立方分米=1000立方厘米=1000000立方毫米=1升=1000毫升=0.061 立方英寸

2、1立方厘米=1000立方毫米=1毫升=0.000061 立方英寸

3、1 立方米=1000 立方分米=1000000立方厘米=1000000000立方毫米=0.353 立方英尺=1.3079 立方码

4、1 立方英寸=0.016387 立方分米=16.387立方厘米=16387立方毫米

5、1立方英尺=28.3立方分米=28300立方厘米=28300000立方毫米

6、1 立方码=27 立方英尺=0.7646 立方米=164.6立方分米=164600立方厘米=164600000立方毫米

令积分区间为[a, b], 在x处 (a x b), 旋转体的截面为半径r = f(x), 截面积S = πf²(x), 旋转体体积为:

V＝∫兀g²(y)dx，g(y)为用y表示x的函数

绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a，b]f(x)^2dx。

一条平面曲线绕着所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。

绕y轴旋转体积公式：V=π∫[a，b]φ(y)^2dy。

绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y^2)^0.5dx,其中y^2是y对x的导数的平方，()^0.5是开平方。

作定积分即可知面积=∫(1到2)(x-1/x)dx=1.5-ln2，体积可看作面积的纵向微分围绕x轴旋转所成薄环的积分v=∫(1到2)π［x^2-(1/x)^2］dx=(11/6 )π 解：平面图形面积=∫1,2(x-1/x)dx =(x²/2-lnx)│1,2 =2-ln2-1/2+ln1 =3/2-ln2 旋转体的体积=π∫1,2(x²-1/x²)dx =π(x³/3+1/x)│1,2 =π(8/3+1/2-1/3-1) =11π/6。

柱壳法求旋转体积公式

旋转体柱壳法详解：

（1）要知道旋转体的半径、高度和厚度；

（2）写上柱壳法公式：V=∫*dV；

（3）把公式dV=2πxydx代入到柱壳法公式中。

（4）注意dV=2πxydx是求一层柱壳的体积的一个近似值；

（5）求y=sinx的绕y轴旋转的体积；

（6）使用柱壳法公式求解：V=∫*dV=2π∫*xsinxdx.

柱壳法是计算 xOy 坐标面上的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积的公式。它的思路是将旋转体分成很多很薄的柱壳，然后利用定积分将这些柱壳的体积累积起来，得到旋转体的体积。

旋转体的形心公式是：x＝（π∫x·y^2dx）/(π∫y^2dx)。由已知条件，套用形心的计算公式以及旋转体的体积公式可得关于f（x）的一个等量关系，对x求导可得关于f（x）的微分方程，求解即得f（x）的表达式。

形心：（X1+X2+。。。。。+Xn)/n，(Y1+Y2+Y3+。。。。。。+Yn)/n，(Z1+Z2+Z3+。。。。。。+Zn)/n。质心和重心坐标相同：对X轴的转动惯量除以质量就是重心纵坐标，对Y轴的转动惯量除以质量就是重心横坐标。

直角三角形旋转体是圆锥，体积=兀Ⅹ半径的平方Ⅹ三角形的高X三分之一

可由柱坐标系和球坐标系来解答，柱坐标系是先在面上二重积分用极坐标然后在单积分在z轴上；球坐标系类似一个地球仪（实心的），由球上任意一点到原点的距离r和经度和纬度表示，一个实际的例子就是在地球上任意一点可由全球定位系统唯一的表示出。

另一种做法是用一般函数图形绕x轴旋转的旋转体体积公式，换元x=rcosθ，y=rsinθ即可得到此公式。