傅里叶变换公式详解，余弦的傅里叶变换公式推导

连续傅里叶变换 大多数情况下情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限制要求语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平才可以积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。

这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。

连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform) 为 马上就要时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。

大多数情况下可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。

除开这个因素不说，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面，常以 来代换，而形成新的变换对 。

或者是因系数重分配而得到新的变换对： 一种对连续傅里叶变换的推广称为成绩傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。

当f(t)为偶函数(或奇函数)时,其正弦(或余弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦变换(cosine transform) 正弦变换(sine transform). 另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(−ω) = F * (ω) 成立.

一、傅里叶级数(热传导、傅里叶余弦级数与傅里叶级数)

二、傅里叶变换(从傅里叶级数(Fourier Seires/FS)到傅里叶变换(Fourier Transform/FT)，2维傅里叶变换(2DFT)，3维傅里叶变换(3DFT))

三、离散傅里叶变换(Discreate Fourier Transform/DFT)、迅速傅里叶变换(Fast Fourier Transform/FFT)及其C++描述

四、傅里叶变换的应用(PDE解答、biot-savart方程、矩阵解答、谱方式、湍能谱

cosw=(e^-jw+e^jw)/2后面用频移性质就行了.结果肯定是[delta(t-w)+delta(t+w)]/2

大多数情况下傅里叶变换与反变换的公式是成对儿给出的。

1、假设正变换 前有系数1/2*π，则反变换 前无系数2、假设正变换 前无系数，则反变换 前有系数1/2*π3、正、反变换 前都拥有系数，都是1/根号(2*π)只是表达形式明显不同，对实质上应用没有影响。

大多数情况下傅里叶变换与反变换的公式是成对儿给出的。

1、假设正变换 前有系数1/2*π，则反变换 前无系数2、假设正变换 前无系数，则反变换 前有系数1/2*π3、正、反变换 前都拥有系数，都是1/根号(2*π)只是表达形式明显不同，对实质上应用没有影响

1、 考虑到一个函数可以展开成一个多项式的和，可惜多项式依然不会能直观的表示周期函数，因为正余弦函数是周期函数，可以考虑任意一个周期函数能不能表示成为一系列正余弦函数的和。假设可以，不失大多数情况下性，于是得到：

f(t)= A0+∑(n=1,∞) Ansin(nωt+Φn)

2、 将后面的正弦函数展开：

Ansin(nωt+Φn)=AnsinΦncosnωt+AncosΦnsinnωt

令 a0/2 =A0,an = AnsinΦn,bn=AncosΦn,x=ωt,可得

f(x)= a0/2+∑(n=1,∞)(ancosnx+bnsinnx)

对两边在区间[-π,π]积分，得

ƒ(-π-π) f(x)dx = ƒ(-π-π)a0/2dx +ƒ(-π-π)(∑(n=1,∞) (ancosnx+bnsinnx))dx

ƒ(-π-π) f(x)dx = ƒ(-π-π)a0/2dx +∑(1 - ∞) (ƒ(-π-π)(ancosnx+bnsinnx)dx)

ƒ(-π-π) f(x)dx = ƒ(-π-π)a0/2dx +∑( 1 - ∞) [anƒ(-π-π)cosnxdx+bnƒ(-π-π)sinnxdx]

ƒ(-π-π) f(x)dx =a0/2 * 2π +∑( 1 - ∞) [anƒ(-π-π)cosnxdx+bnƒ(-π-π)sinnxdx]

当n=0時

ƒ(-π-π) f(x)dx = ao * π

于是我们得出了a0的值。

ao = ƒ(-π-π) f(x)dx /π

三角函数系{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……,cosnx,sinnx,……} ---- ⑴

在区间[-π,π]上正交，就是指在三角函数系⑴中任何不一样的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0，即

∫[-π-π]cosnxdx=0

∫[-π-π]sinnxdx=0

∫[-π-π]sinkxcosnxdx=0

∫[-π-π]coskxcosnxdx=0

∫[-π-π]sinkxsinnxdx=0

(k,n=1,2,3.....,k≠n)

下面利用三角函数正交性得出an,在原函数两端乘以cos(nx)

傅立叶定律 热传导的宏观规律可用傅立叶定律来描述， 固体热导率：λ＝2.5～420 W/(m·K)。

金属的纯度降低，热导率会快速降低。

液体热导率：λ＝0.09～0.7 W/(m·K)。

水比全部水溶液的热导率都高，液体的热导率随浓度的增多而降低，纯液体的热导率比其溶液高。

气体热导率：λ＝0.0058～0.58 W/(m·K)。

空气在0摄氏度时的热导率为0.0245W/(m·K)，故静止空气是一种良好的绝热材料。

大多数情况下物质的热导率均随温度而变化，金属材料的热导率随温度升高而降低，非金属材料的热导率则相反。

除水和甘油外，大多数液体热导率随温度升高而降低。

气体的热导率随温度的升高而增大

矩形脉冲的傅里叶变换是sa函数。即，

u(t+tao/2)-u(t-tao/2) tao*Sa(w*tao/2)

按照傅里叶变换的对称性，我们可以得出，sa函数的傅里叶变换是矩形脉冲。即，

wc/2pi*Sa(wc*t/2) u(w+wc/2)-u(w-wc/2)

再按照尺度变换特性，可以得出

Sa(t) pi*[u(w+1)-u(w-1)]

即为幅度为pi，范围为-1到1的矩形波。

当一个很复杂的函数变成多个初等正弦函数相加时，它的积分比以前对复杂函数的积分变得简单多了。法国数学家傅里叶发现了周期函数可以用一系列正弦函数组成的级数表示。先把函数作傅里叶变换，然后再利用莱布尼茨公式就可以得出结果。

基本定义：若函数 f(x)满足条件

（1）在任一有限区间都连续或唯有有限个第一类间断点，并且唯有有限个极值；

（2）在(-∞，+∞)上绝对可积，即有限；则定义[f(x)→C(ω)]



为 f(x)的（复）傅里叶变换；记C(ω) = F[ f (x)] = f (ω)，称 C(ω)为（复）傅里叶变换像函数。

f(x)=e^-ax^2（a0）的傅立叶变换是F(ξ)=[1/√(2a)]e^-[ξ^2/(4a)]。

傅里叶变换（Fourier transformation）具有的性质：

（1）线性性质：函数线性组合的傅里叶变换=各函数傅里叶变换的线性组合

（2）位移性质（shift信号偏移，时移性）：

如：

f（t-t0）表示时间函数f（t）沿t轴向右平移t0，其傅里叶变换=f（t）的傅里叶变换乘以因子exp（-iwt0），类似f（t+t0）的傅里叶变换=f（t）的傅里叶变换乘以因子exp（iwt0）

而F（w-w0）的表示频谱函数沿w轴向右平移w0，其傅里叶逆变换=F（w）的傅里叶逆变换乘以因子exp（iw0t），反之乘以exp（-iw0t）

（3）微分性质：一个函数导数的傅里叶变换等于这个函数傅里叶变换乘以因子iw

（4）积分性质：一个函数积分后的傅里叶变换等于这个函数傅里叶变换除以因子iw

利用傅氏变换的这四条性质，可以将线性常系数微分方程转化成为代数方程，通过解答代数方程和求傅氏逆变换，可得到微分方程的解