欧拉公式适用条件，欧拉方程的全部形式怎么求

欧拉公式的适用范围是：适用于小变形、线弹性范围的压杆，即临界应力应小于材料的比例极限。欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系。欧拉公式是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里重要，要优先集中精力的哪些数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；还有被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

欧拉方程：对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。欧拉方程是无粘性流体动力学中重要，要优先集中精力的基本方程。应用十分广泛。1755年，瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的大多数情况下原理》一书中第一提出这个方程。

表达式ax²D²+bxD+c）y=f(x）

（1）分式里的欧拉公式： ☆ 　　a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) ☆ 　　当r=0,1时式子的值为0 ☆ 　　当r=2时值为1 ☆ 　　当r=3时值为a+b+c ☆ 　　（2）复变函数论里的欧拉公式：☆ 　　e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。☆ 　　它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有很重要的地位。☆ 　　将公式里的x换成-x，得到：☆ 　　e^-ix=cosx-isinx，然后采取两式相加减的方式得到：☆ 　　sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.☆ 　　这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：☆ 　　e^i∏+1=0.☆ 　　这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里重要，要优先集中精力的哪些数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，还有数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只可以看它而不可以理解它。☆ 　　（3）三角形中的欧拉公式：☆ 　　设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： ☆ 　　d＾2=R＾2-2Rr ☆ 　　（4）拓扑学里的欧拉公式：☆ 　　V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。☆ 　　假设P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），既然如此那，X(P)=2，假设P同胚于一个接有h个环柄的球面，既然如此那，X(P)=2-2h。☆ 　　X(P)叫做P的欧拉示性数是拓扑不变量，就是不管再怎么经过拓扑变形也不会改变的量是拓扑学研究的范围。☆ 　　（5）初等数论里的欧拉公式：☆ 　　欧拉φ函数：φ(n)是全部小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。☆ 　　欧拉证明了下面这个式子：☆ 　　假设n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，这当中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且，两两不等。则有☆ 　　φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)☆ 　　利用容斥原理可以证明它。

欧拉公式

复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。

拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，那就是欧拉定理，它于 1640年由 Descartes第一给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

欧拉定理：e^(ix)=cosx+isinx。这当中：e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有很重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：

e^(-ix)=cosx-isinx，然后采取两式相加减的方式得到：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)，cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2。

扩展资料：

欧拉公式的意义：

1、数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数当中特有的规律

2、思想方式创新：定理发现证明途中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方式上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。

3、引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量相关的量出现了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不可以撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这样的变形途中的不变的性质。

4、提出多面体分类方式：

在欧拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。

除简单多面体外，还有非简单多面体。比如，将长方体挖去一个洞，连结底面对应顶点得到的多面体。它的表面不可以经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。

欧拉公式有4条 （1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复数 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 （3）三角形 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面体 设v为顶点数，e为棱数是面数，则 v-e+f=2-2p p为欧拉示性数，比如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫第一类多面体 等等 实际上欧拉公式是有4个的，上面说的都是多面体的公式

　　欧拉定理指出：假设产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且，厂商生产的规模报酬不变，既然如此那，在市场均衡的条件下，全部生产要素实质上所获取的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。该定理又叫做边际生产力分配理论，还被称为产品分配净尽定理。　　如上所述，要素的价格是因为要素的市场供给和市场需求共同决定。在完全竞争的条件下，厂商和消费者都被动地接受市场形成的价格。

欧拉公式

1752年欧拉证明的定理

在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数，V记顶点个数，E记边界个数，则 R+ V- E= 2，那就是欧拉定理，它于 1640年由 Descartes第一给出证明，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其 为 Descartes定理。R+ V- E= 2就是欧拉公式。

基本信息

中文名

欧拉公式

外文名

Eulers formula

别名

欧拉方程

视频百科

证明

用数学归纳法证明

( 1)当 R= 2时，由说明 1,这两个区域可想象为 以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立.。

( 2)设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立。

由说明 2，我们在 R= m+ 1的地图上任选一个 区域 X ,则 X 必有与它如此相邻的区域 Y ，让在 去除 X 和 Y 当中的唯一一条边界后，地图上唯有 m 个区域了；在去除 X 和 Y 当中的边界后，若原该边界两端 的顶点目前都还是 3条或 3条以上边界的顶点，则 该顶点保留，同时其他的边界数不变；若原该边界一 端或两端的顶点目前成为 2条边界的顶点，则去除 该顶点 ,该顶点两边的两条边界便成为一条边界。于是 ,在去除 X 和 Y当中的唯一一条边界时唯有三种 情况：

（1）减少一个区域和一条边界；

（2）减少一个区 域、一个顶点和两条边界；

（3）减少一个区域、两个顶点和三条边界；

也就是在去除 X 和 Y 当中的边界时 ,不论哪种情况都理所当然有“减少的区域数 + 减少的顶点数 = 减少的边界数”我们将上面说的过程反过来 (马上就要 X 和 Y当中去除的边 界又照原样画上 ) ，就又成为 R= m+ 1的地图了，在 这一途中肯定是“增多的区域数 + 增多的顶点数 = 增多的边界数”。

因为这个原因，若 R= m (m≥2)时欧拉定理成立，则 R= m+ 1时欧拉定理也成立.。

由 ( 1)和 ( 2)就可以清楚的知道 ,针对任何正整数 R≥2,欧拉 定理成立。 .

柯西的证明

第一个欧拉公式的严格证明，由20岁的柯西给出，总体请看下方具体内容：

从多面体去除一面，通过把去除的面的边相互拉远，把全部剩下的面变成点和曲线的平面互联网。不失大多数情况下性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不可以再是正常的多边形就算启动时它们是正常的。但是点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样(移去的面对应互联网的外部。)

重复一系列可以简化互联网却不改变其欧拉数（也是欧拉示性数）的额外变换。

若有一个多边形面有3条边以上，我们划一个对角线。这增多一条边和一个面。继续增多边直到全部面都是三角形。

除掉唯有一条边和外部相邻的三角形。这把边和面的个数各减一而保持顶点数不变。

（逐个）除去全部和互联网外部共享两条边的三角形。这会减少一个顶点、两条边和一个面。

重复使用第2步和第3步直到只剩一个三角形。针对一个三角形（把外部数在内），。故此，。

推理证明

设想这个多面体是先有一个面，然后故将他他各面一个接一个地添装上去的。因为一共有F个面，因为这个原因要添(F-1)个面.

考察第Ⅰ个面，设它是n边形，有n个顶点，n条边，这时E=V，即棱数等于顶点数.

添上第Ⅱ个面后，因为一条棱与原来的棱重合，而且，有两个顶点和第Ⅰ个面的两个顶点重合，故此，增多的棱数比增多的顶点数多1，因为这个原因，这时E=V+1.

以后每增添一个面，总是增多的棱数比增多的顶点数多1，比如

增添两个面后，相关系E=V+2；

增添三个面后，相关系E=V+3；

……

增添(F-2)个面后，相关系E=V+ (F-2).

后增添一个面后，就成为多面体，这时棱数和顶点数都没有增多。因为这个原因，关系式仍为E=V+ (F-2).即

F+V=E+2.

这个公式叫做欧拉公式。它表达2这个数是简单多面体表面在连续变形下不变的数。

分式

当r=0或1时式子的值为0，当r=2时值为1，当r=3时值为a+b+c。