向量的矢量积坐标公式，二重矢积公式证明

向量积的坐标运算公式：|c|=|a×b|=|a||b|sin。向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘是一种在向量空间中向量的二元运算

证明：ax(bxc)=(a*c)b-(a*b)c

明显ax(bxc)=ub+vc(u,v属于R)

a*[ax(bxc)]=a*[ub+vc]=0

ua*b+va*c=0

bx[ax(bxc)]=bx[ub+vc]=vbxc

设bxc=d d与b垂直 令a=x1e1+x2e2+x3e3

|b|e1=b |d|e2=d |bxd|e3=bxd

代入得 bx(x1e1xd)=vd

由|b|x1=(a*b) 可得 v=-(a*b)

代入(1)式可得 u=(a*c)

扩展资料：

向量外积与点积不一样，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用十分广泛，一般应用于物理学光学和计算机图形学中。

用外积来做高中数学题简直就是开挂。已知三点坐标，求三角形面积这个问题。根据高中数学的招数和陷阱，无非就是两点间距离公式算三边长，然后要么用海伦公式算面积，要么用余弦定理得出余弦值，换成正弦值，再求面积，这两种方式海伦公式稍微简单方便一点，但无非都难算了一部分。而使用向量外积则简洁优美，我直接算的值就是面积了。

例如矢量A*矢量B用右手螺旋法则，就是：

1、先把手掌除大拇指以外的4个指头展开，指向矢量A的方向。

2、然后把4个指头弯起来，弯的方向由矢量A转向矢量B（转的的视角须小于180度）。

3、这个时候大拇指立起的方向，就是矢量A*矢量B的乘积的方向。

比如：

设A，B是2个向量，A到B的角为θ。

既然如此那，称A*B=「A」「B」cosθ 为它们的内积，点积，数量积。

称A×B=「A」「B」sinθ 为它们的外积，叉积，向量积。

数量积的几何意义是一个向量在另外一个向量上的投影长乘以另外一个向量长所得的长度。

向量积的几何意义是，它是一个垂直于A，B的向量。它的大小等于这2个向量围成的平行四边形的面积，它的方向由右手定则所规定。

1）定义或解释：有部分物理量,既要由数值大小(涵盖相关的单位),又要由方向才可以完全确定.这些量当中的运算依然不会遵守大多数情况下的代数法则,而遵守特殊的运算法则.这样的量叫做物理矢量.有部分物理量,只具有数值大小(涵盖相关的单位),而不具有方向性.这些量当中的运算遵守大多数情况下的代数法则.这样的量叫做物理标量.（2）说明：（1）矢量当中的运算要遵守特殊的法则.矢量加法大多数情况下可用平行四边形法则.由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等.矢量减法是矢量加法的逆运算,一个矢量减去另一个矢量,等于加上那个矢量的负矢量.A-B=A+(-B).矢量的乘法.矢量和标量的乘积仍为矢量.矢量和矢量的乘积,可以构成新的标量,矢量间这样的乘积叫标积；也可以构成新的矢量,矢量间这样的乘积叫矢积.比如,物理学中,功、功率等的计算是采取两个矢量的标积.W=F·S,P=F·v,物理学中,力矩、洛仑兹力等的计算是采取两个矢量的矢积.M=r×F,F=qv×B.（2）物理定律的矢量表达跟坐标的选择无关,矢量符号为表达物理定律提供了简单明了的形式,且使这些定律的推导简单化,因为这个原因矢量是学习物理学的有用工具

加法用平行四边形法则或三角形法则但两者的实质差不多的，减法把两个向量的头相连，指向被减向量。矢量和矢量的乘积即向量的数量积。等于a的模乘以b的模乘以cos两个向量的夹角。

内积也被称之为“点积”是两个向量当中的一种预算法则。

内积是指接受在实数R上的两个向量并返回到一个统一的实数值标量的一种二元算法，它也代表着欧几里面空间的标准内积值。

在物理应用上，内积可以用来计算“功”和“合力”的数值，假设一个b为单位的矢量值，那内积代表着a在方向b上的投影数值，故此，就给出了力在这个方向上的分解。

我们可以用这个思路来分解“功”，功是力和位移的内积，假设两个矢量点当中的积大于0，代表他们的方向越近，反之亦然。

内积（inner

product），又称数量积（scalar

product）、点积（dot

product）是一种向量运算，但其结果为某一数值，并不是向量。其物理意义是质点在F的作用下出现位移S，力F所做的功，W=|F||S|cosθ。

在数学中，数量积（dot

product；

scalar

product，也称为点积）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

两个向量a

=

[a1,

a2,…,

an]和b

=

[b1,

b2,…,

bn]的点积定义为：

a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1

矩阵，点积还可以写为：

a·b=a*b^T，这里的b^T指示矩阵b的转置。

在数学里面，内积空间就是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积，或标量积，或点积。这个增添的结构允许我们谈论向量的的视角和长度。内积空间由欧几里得空间抽象而来，这是泛函分析讨论的课题。

内积空间有的时候，也叫做准希尔伯特空间，因为由内积定义的距离完备化后面就可以得到一个希尔伯特空间。在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词目前已经被淘汰了。在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数/不可数）的欧几里德空间。

在生出现活中，内积同样应用广泛。利用内积可判断一个多边形是不是面向摄像机还是背向摄像机。向量的内积与它们夹角的余弦成正比，因为这个原因在聚光灯的效果计算中，可以按照内积来得到光照效果，假设内积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越。物理中，内积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则内积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的内积。计算机图形学经常会用到来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；假设小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经互联网技术的数学基础之一，此方式还被用于动画渲染（Animation-Rendering）。

线性变换中点积的意义：

按照点积的代数公式：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn，假设a为给定权重向量，b为特点向量，则a·b实际上为一种线性组合，函数F（a·b）则可以构建一个根据a·b+c

=

（c为偏移）的某一超平面的线性分类器，F是个简单函数，会将超越一定阈值的值对应到第一类，其它的值对应到第二类。

1）内积：两个向量a和b的模和他们夹角的余弦的乘积叫做向量和b的内积记作a,b或ab即a.b=|a||b|cos＜(a,b).

2）外积：两个向量a和b的向量积（也称外积）是一个向量，记作a×b或[ab]它的模是|a×b|=|a||b|sin＜(a,b).

解：a*b=a*b*cos(a和b的夹角) 这是从物理实践中来，在物理计算中，常常会用到一个向量投影到另一个向量的方向，然后再乘以另一个向量的模。而且，这样的算法表示固定的物理意义。 因为常常会碰见这样的问题，于是有人就这样定义了内积是为了方便表达和直观辨认。一个式子太长或太复杂就可以给计算带来不少的不便，定义了简单方便的式子有助有从数学上理解物理。

向量内积（点乘） a.b=x1*y1+x2*y2 这当中a（x1,x2） b(y1,y2) 结果是标量 一个数值

向量外积（叉乘） a×b=|a|*|b|*sin

结果是一个向量（矢量）

内积就是点积。a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

点积在数学中，又称数量积是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为：

a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为：

a·b=（a^T）*b，这里的a^T指示矩阵a的转置。



扩展资料：

在生出现活中，点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是不是面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因为这个原因在聚光灯的效果计算中，可以按照点积来得到光照效果，假设点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。

物理中，点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学经常会用到来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；假设小于0，则方向相反。

向量内积公式请看下方具体内容所示：

已知两个非零向量a、b，既然如此那，|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2。

扩展资料：

数量积的性质：

设a、b为非零向量，则：

（1）设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a=a·e=|a|cosθ。

（2）a⊥b=a·b=0。

（3）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·a=|a|2=a2或|a|=√a·a。

（4）|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立。

行列式是M1M2和M1M3的向量积的计算公式。向量积的结果是一个向量，该向量垂直于两个向量M1M2和M1M3，于是和这两个向量所在的平面垂直。这样，这个向量积完全就能够取作法向量。

表示的直线是两个平面的交线，故此，分别得到两个平面的法向后，二者叉乘即为交线的方向向量，结果为（0，-1，-2）。注意是直线的方向向量，而不是你说的法向量。



方向：

a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵循右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方式是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不能超出180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）

向量积|c|=|a×b|=|a||b|sina，b

即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。

而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。

平面的法向量是垂直于该平面的2.平行向量的矢量积等于零3.平面内两个不平行向量的矢量积垂直于该平面即为法向量（右手规则）

两直线确定一个平面,按照叉乘的定义,平面内两向量的叉乘得到的向量向量垂直这个平面,这一向量就是该平面的法向量.其实平面的法向量与叉乘所得到的向量平行,这只是一情况特殊.

向量积的定义中有，c=a×b则c垂直于a，b所在的平面，(即c平行于平面的法向量)故此我们经常会用到向量积来求与两个向量同时垂直的向量(主要是法向量和直线的方向向量)

向量混合积的运算公式是(a× b) c= a (b× c)。

1.三重积，也叫混合积是三个向量相乘的结果，在向量空间中，有两种方式把三个矢量相乘，得到三重积，分又称为标量三重积和向量三重积。

2.a, b, c在空间中是三个向量，既然如此那，(a× b)· c称为三个向量 a, b, c的混合积，用[abc]或(a, b, c)或(abc)表示。几何向量在物理和工程上一般都叫向量。不少物理量都是向量，如物体的位移、球与墙相撞等。而相对的是标量，即唯有尺寸，而没有方向的量。某些有关矢量的定义也与物理概念有着密切的关系，比如，向量势对应于物理中的势能。

3.针对向量 a, b的向量积，有：a. b与 a, b分别垂直；a、 b与 a、 b服从右手法则；| a| b|=| a| b|θ是向量 a b间的夹角。