直线与圆的弦长公式推导，圆的弦长公式高中数学

d^2=(ma+nb+c)^2/(a^2+b^2)

设圆半径为r，圆心为（m,n)

直线方程为ax+by+c=0

弦心距为d

则d^2=(ma+nb+c)^2/(a^2+b^2 )

则弦长的一半的平方为（r^2-d^2)/2

在清楚圆和直线方程求弦长时，可利用方式二，将直线方程代入圆方程，消去一未知数，得到一个一元二次方程。

有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x（或有关y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式得出弦长。



扩展

圆的弦长公式是

1、弦长＝2Rsina

R是半径，a是圆心角。

2、弧长L,半径R。

弦长＝2Rsin(L*180/πR)

直线与圆锥曲线相交所得弦长d的公式。

弦长＝│x1-x2│√（k^2+1)=│y1-y2│√［(1/k^2)+1]

这当中k为直线斜率，(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点，││＂为绝对值符号，√＂为根号。

PS：圆锥曲线是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一部分曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。

补充

直线与圆锥曲线的位置关系是平面剖析解读几何的重要内容之一，也是高中毕业考试的热点，反复考核。考核的主要内容涵盖：直线与圆锥曲线公共点的个数问题；弦的有关问题（弦长问题、中点弦问题、垂直问题、定比分点问题等）；对称问题；值问题、轨迹问题和圆锥曲线的标准方程问题等。

有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x（或有关y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式得出弦长。

在三角形ABC中，它的外接圆半径为R，则正弦定理可表达为

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；

(x-4)^2+y^2=16被直线y=(根号3)x所截得弦长

圆(x-4)^2+y^2=16与直线y=(根号3)x的一个交点恰为原点O(0,0)，另一个交点记为A，则OA就是圆(x-4)^2+y^2=16被直线y=(根号3)x所截得的弦，若记圆与x轴的另一个交点为B，则三角形OAB就是一个直角三角形，这当中∠AOB=60°，∠OAB=90°，OB=2R，故此，

OA=2Rcos∠AOB=2Rcos60°=R。

又圆的半径为4，故此，圆(x-4)^2+y^2=16被直线y=(根号3)x所截得的弦长为4。

弦长公式 圆与直线

圆的弦长公式为：AB＝｜x1－x2｜√（1＋k²）＝｜y1－y2｜√（1＋1／k²）。

弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。

弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。

圆锥曲线， 是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一部分曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。

椭圆的弦长有关延伸：

1、焦点弦：A（x1，y1），B（x2，y2），AB为椭圆的焦点弦，M（x，y）为AB中点，则L＝2a±2ex。

2、设直线与椭圆交于P1（x1，y1），P2（x2，y2），且P1P2斜率为K，则｜P1P2｜＝｜x1－x2｜√（1＋K²）或｜P1P2｜＝｜y1－y2｜√（1＋1／K²）。

1、弦长=2Rsina；

R是半径，a是圆心角。

2、弧长L，半径R；

弦长=2Rsin(L*180/πR)。

在三角形ABC中，它的外接圆半径为R，则正弦定理可表达为：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；

(x-4)^2+y^2=16被直线y=(根号3)x所截得弦长

圆(x-4)^2+y^2=16与直线y=(根号3)x的一个交点恰为原点O(0,0)，另一个交点记为A，则OA就是圆(x-4)^2+y^2=16被直线y=(根号3)x所截得的弦，若记圆与x轴的另一个交点为B，则三角形OAB就是一个直角三角形，这当中∠AOB=60°，∠OAB=90°，OB=2R，故此，

OA=2Rcos∠AOB=2Rcos60°=R。

又圆的半径为4，故此，圆(x-4)^2+y^2=16被直线y=(根号3)x所截得的弦长为4。

弦长=2Rsina，R是半径，a是圆心角；弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。

半径r，圆心角a，弦长L。

弦长与两条半径构成一个三角形，用余弦定理：

L^2=2r^2-2r^2cosa=2r^2(1-cosa)。

L=r*√[2(1-cosa)]。

用半角公式可转化为：L=2r*sin(a/2)。

2=2px，过焦点直线交抛物线于A(x1,y1）和B(x2,y2）两点，则AB弦长：d=p+x1+x2。

y^2=-2px，过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚。

圆的弦长等于2倍根号下r平方减去d平方（r是圆的半径，d是圆心到弦的距离）。

设圆半径为r,圆心为（m,n),直线方程为ax+by+c=0弦心距为d,则d^2=(ma+nb+c)^2/(a^2+b^2 )则弦长的一半的平方为（r^2-d^2)/2

直线和圆相交的距离公式为 d=|Aa+Bb+C|/√(A^2+B^2)。

圆心坐标为（a,b），直线方程为AX+BY+C=0，则圆与直线相切的距离 d=|Aa+Bb+C|/√(A^2+B^2)。

直线和圆相交，数学定义，指的是直线和圆有两个公共点时。

直线到圆的距离公式：Ax+By+C=0。直线由大量个点构成。直线是面的组成成分，并继而组成体。没有端点，向两端无限延长，长度没办法度量。直线是轴对称图形。它有大量条对称轴，这当中一条是它本身，还带来一定有与它垂直的直线（有大量条）对称轴。在平面上过不重合的两点有且唯有一条直线，即不重合两点确定一条直线。在球面上，过两点可以做大量条类似直线。

严格来说，距离指同一时间下，空间两点当中的空间短连线长。该短连线的性质主要还是看距离所在的空间性质，在经典物理中的平直空间里是直线，但是在弯曲空间里则可以是曲线。

其实就是常说的弦长公式吧√（1+k∧2）*√（（x1+x2）∧2-4x1x2）

设圆的半径为R,直线方程为Ax+By+C=0,圆心坐标为（Xo,Yo).则圆心到直线的距离d为：d=|AXo+BYo+C|/根号（A平方+B平方）。按照垂径定理，弦长的一半为根号（R平方-d平方）。故此，弦长为2乘以（R平方-d平方）

2倍根号下(r²-d²），这当中r是圆半径，d是圆心到直线的距离

第一要清楚求公共弦长需清楚什么量。

设两圆圆心分别是O，P，公共弦为AB，且AB与OP的交点设为M，由相交弦的性质知AB⊥OP，要求AB就要清楚两个圆的半经为R，r及圆心距乚。因为△AOM与△APM都是直角三角形，故此，AM^2=R^2一OM^2=r^2一PM^2=r^2一（乚一OM）^2，由此得OM=（R^2一r^2）/2乚，∴AM^2=R^2一[（R^2一r^2）/2乚]^2。

这样完全就能够得出AM，同时知AB=2AM完全就能够得出弦长AB了。

两圆方程作差后得直线方程AX＋By＋C＝0，若某个圆心（m，n）对应半径为R。圆心到直线距离d＝丨Am＋Bn＋C丨／√A＾2＋B＾2（根号下A平方＋B平方）弦长等于2√R＾2－d＾2（2倍根号下R平方减去d平方）。计算公共弦长与计算直线被圆截得弦长一样。区别在于直线由两圆确定

圆与圆的公共弦长公式的推导过程是：第一任取一点圆心,此圆半径为r,求得到直线距离d,公共弦长为s,(s/2)^2=r^2-d^2 即为直角三角形求得弦长。

用第一个圆方程减第二个圆方程得到公共弦所在的直线,然后联立方程组。连接两圆心,得出圆心距,则此弦被垂直平分。

在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。圆有大量条对称轴。在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

圆可以表示为集合{M||MO|=r}，这当中O是圆心，r是半径。圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，这当中点(a,b)是圆心，r是半径。圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。