年金终值公式推算过程，即付年金终值公式推导过程

年金终值公式推到利用等比数列知识推导，

设终值为S，年金为A，利率为i，期数为n:

S=A+A（1+i）+……+A（1+i）^n-1

此等式两边同乘以1+i得：

1+iS=A（1+i）+A（1+i）^2……+A（1+i）^n

后式减前式可得：

iS=A(1+i)^n-A

则有：S=A[(1+i)^n-1]/i

实际上那就是个首项为A，公比为(1+i)，项数为n的等比数列的和，直接套用公式：首项×（1-公比的n次方）÷（1-公比)，就可以得出。

利率为i，经过n期的年金终值系数记作(F/A，i，n)，年金终值系数为[(1+i)^n-1]/i

F=A(F/A，i,n)

年金终值系数是指一定时期内，每期期末等额收入或支出的本利和。年金终值系数为[(1+i)^n-1]/i。多应用于经济学；金融学；建筑工程经济等领域。

1、终值又称以后值是目前一定量的资金折算到未来某一时点所对应的价值，俗称“本利和”，一般记作“F”。

2、现值是指未来某一时点上的一定量资金折算到目前所对应的价值，俗称“本金”，一般记作“P”。

3、期数表示终值和现值当中所经过时间，一般记作“N”。

按照复利现值方式计算年金现值公式为：

p=a(1+i)^-1+a(1+i)^-2+a(1+i)^-3+……+a(1+i)^-n

将两边同时乘以（1+i）得：

p(1+i)=a(1+i)+a(1+i)^-1+a(1+i)^-2+……+a(1+i)^-(n-1)

两者相减得

p=a*{[1-(1+i)^-n]/i}式中，[1-(1+i)^-n]/i为“年金现值系数”，记作(p/a,i,n)

=a(p/a,i,n)

后付年金终值推导公式

按照复利终值方式计算年金终值公式为：

f=a+a(1+i)+a(1+i)^2+a(1+i)^3+……+a(1+i)^n-1

将两边同时乘以（1+i）得：

f(1+i)=a(1+i)+a(1+i)^2+a(1+i)^3+a(1+i)^4+……+a(1+i)^n

两者相减得

f=a*{[(1+i)^n-1]/i} 式中，[(1+i)^n-1]/i为“年金终值系数”，记作(f/a,i,n)

=a(f/a,i,n)

先付年金终值计算公式

f=a(1+i)+a(1+i)^2+a(1+i)^3+a(1+i)^4+……+a(1+i)^n

f=a*{[(1+i)^n-1]/i} *(1+i)

=a(f/a,i,n)*(1+i)或f=a[(f/a,i,n+1)-1]

先付年金现值计算公式

p=a+a(1+i)^-1+a(1+i)^-2+a(1+i)^-3+……+a(1+i)^-(n-1)

p=a*{[1-(1+i)^-n]/i} *(1+i)

=a(p/a,i,n)(1+i)

=a[(p/a,i,n-1)+1]

这是等比数列前n项之和，首项为A(1十i)^0，公比为(1十i) F＝A(1+i)^0+A(1+i)^1+A(1+i)^2+．．．+A(1+i)^n-2+A(1+i)^n-1 =A((1+i)^0+A(1+i)^1+A(1+i)^2+．．．+A(1+i)^(n-2)+A(1+i)^(n-1)) =A((1+i)^n一1)/((1+i)一1) =A*{[(1+i)^n-1]/i}

复利的终值和现值

1.终值：本利和　-F（已知P、i、n求F）

（1）计算

F＝P（1＋i）n次方＝P（F/P，i，n）

（2）复利终值系数：（1）（1＋i）n次方 （2）（F/P，i，n）

复利终值与单利终值的关系：复利终值是对单利终值的连续使用，把某数乘以（1＋i）表示计息一期。

2.现值：本金-P （已知F、i、n求P）

（1）公式　　

P＝F（1＋i）-n次方＝F（P/F，i，n）

（2）复利现值系数：（1）（1＋i）-n次方 （2）（P/F，i，n）

复利现值与单利现值的关系：复利现值是对单利现值的连续使用，把某数除以（1＋i）表示折现一期。

3.复利终值与复利现值的关系-互为逆运算。

预付年金现值的计算公式请看下方具体内容：

P=A×[（P/A，i，n-1）+1]：第一将预付年金转换成普通年金，转换的方式是，求现值时，假设0时点（第1期期初）没有等额的收付，这样就转化为n-1期的普通年金的现值问题，计算期数为n-1期的普通年金的现值，再把启动未算的第1期期初位置上的这个等额的收付A加上，就可以够得出预付年金现值，预付年金的现值系数和普通年金现值系数相比，期数减1，而系数加1。

n-1期的普通年金的现值＝A×（P/A，i，n-1），

n期预付年金的现值＝n-1期的普通年金现值＋A ＝A×（P/A，i，n-1）+A =A×[（P/A，i，n-1）+1]。

过程：预付年金同样可以通过推导进行简化，但是，还有一个更简单方便的方式，预付年金和普通年金的区别在于收付款时间点，普通年金收付款时间点在每期的期末，而预付年金的收付款时间点在每期的期初，这个差异就致使预付年金每一次收付款的现值要比普通年金收付款的现值少折现一次，其实就是常说的少除以一次（1+i），故此，预付年金的现值可由普通年金现值公式算出：

p=a*(p/a，i，n)*（1+i）

同样的原理，针对预付年金的终值，每一次收付款的终值要比普通年金多算一次利息，其实就是常说的多乘以一次（1+i），故此，预付年金的终值就等于

f=a*(f/a，i，n)*（1+i）

如此一来，预付年金的现值和终值都等于普通年金的现值和终值乘以（1+i），针对预付年金的计算就转化成了普通年金的计算；