通项公式基本知识导数法求通项公式

一、定义

假设数列{an}的第n项与序号当中的关系可以用一个式子来表示,既然如此那，这个公式叫做这个数列的通项公式 　　简单的说 就是一个数列的规律,有了通项公式完全就能够写出数列

二、特点

通项公式：假设一个数列的第n项an与其项数n当中的关系可用式子an=f（n）来表示,这个式子就称为该数列的通项公式.

1、通项公式一般不是唯一的,大多数情况下取其简单的形式； 　　

2、通项公式以数列的项数n为唯一变量； 　　

3、并不是每个数列都存在通项公式. 　　

4、应用于等差数列或应用于某一不规则数列可以肯定某部分为等差的等差部分.

三、原理

数列定义：

　　按一定次序排成的一列数叫数列.这当中,数列中的每一个数都叫做这个数列的项.

　　数列的形式大多数情况下可表示为a1,a2,…,an,… （1、2、3、…、n为下标）　递推公式： 　　假设一个数列的第n项an与该数列的其他一项或多项当中存在对应关系的,这个关系就称为该数列的递推公式.比如斐波纳契数列的递推公式为an=an-1+an-2（n、n-1、n-2为下标）. 　　通项公式是要用科学的计算方式来求证的,这当中要用到各自不同的公理,定理,及各自不同的计算方式. 　　怎么由递推公式求通项公式重要是看递推公式的形式,不一样的形式方式不一样.

　　如 　　an=a(n-1)+p或an=qa(n-a) 　　

这是简单的等差型与等比型,这里就不赘述. 　

　又如 　　an=p*a(n-1)+q,这样的形式可以用不动点法 　

　令an-d=p[a(n-1)-d] 　　

通过比较系数,可以把d用p与q表示出来（d=q/(1-p)） 　

　然后就化成了等比型,完全就能够得出an+d,进一步得出an. 　

　又如 　　an=p*a(n-1)+q*a(n-2)这样的形式 　

　可以设 　　an-d*a(n-1)=p*[a(n-1)-d*a(n-2)] 　

　也还是可以解出d,然后可以把an-d*a(n-1)得出,后再求an. 　

　还有an=[a*a(n-1)+b]/[c*a(n-1)+d],这是分式型. 　

　这时要设 　　an-k=a*[a(n-1)-k]/[c*a(n-1)+d],然后一般可以解出两个k值（k1、k2） 　

　然后再两式相比,得：

　　(an-k1)/(an-k2)=[a(n-1)-k1][a(n-1)-k2],则可以得出(an-k1)/(an-k2),进一步得出an

　　总而言之,由递推公式求通项公式的类型相当多,每一种方式都有一定的差别,作此题时应该好好考虑考虑,确定一种优解法.

四、应用

编程方面 　

　s=s+n；累加器 　　

n=n+1；计数器 　

　p=p*i；累乘器 　　

一般用在循环体内

解：

a(n+1)=an/(2an+1)

2a(n+1)an+a(n+1)=an

an-a(n+1)=2a(n+1)an

等式两边同除以a(n+1)an

1/a(n+1)-1/an=2，为定值。

1/a1=1/1=1

数列{1/an}是以1为首项，2为公差的等差数列。

通项公式为1/an=1+2(n-1)=2n-1

an=1/(2n-1)

针对一个数列，假设任意相邻两项之差为一个常数，既然如此那，该数列为等差数列，且称这一定值差为公差，记为 d ；从第一项到第n项的总和，记为 。

那么通项公式为

其求法非常的重要，利用了“叠加原理”的思想：

以上 个式子相加，便会接连消去不少有关的项，后等式左边余下,而右边则余下和 个d,如此便得到上面说的通项公式。

除开这点数列前 n 项的和

其详细推导方法较简单，可用以上类似的叠加的方式，也可采用迭代的方式，在这里，不可以再复述。

值得说明的是，

也即，前n项的和 除以 n 后，便得到一个以 为首项，以 为公差的新数列，利用这一特点可以使不少涉及的数列问题迎刃而解。

1、定义假设数列{an}的第n项与序号当中的关系可以用一个式子来表示,既然如此那，这个公式叫做这个数列的通项公式 　　简单的说 就是一个数列的规律,有了通项公式完全就能够写出数列二、特点通项公式：假设一个数列的第n项an与其项数n当中的关系可用式子an=f（n）来表示,这个式子就称为该数列的通项公式.1、通项公式一般不是唯一的,大多数情况下取其简单的形式； 　　2、通项公式以数列的项数n为唯一变量； 　　3、并不是每个数列都存在通项公式. 　　

假设一个数列的第n项an与其项数n当中的关系可用式子an=f（n）来表示，这个式子就称为该数列的通项公式。

简单的说

就是一个数列的规律

有了通项公式完全就能够写出数列

通项公式是要用科学的计算方式来求证的，这当中要用到各自不同的公理，定理，及各自不同的计算方式.

怎么由递推公式求通项公式重要是看递推公式的形式，不一样的形式方式不一样。

1、通项公式一般不是唯一的，大多数情况下取其简单的形式；

2、通项公式以数列的项数n为唯一变量；

3、并不是每个数列都存在通项公式。

假设数列{an}的第n项与序号按当中的关系，可以用一个式子来表示，既然如此那，这个式子叫做这个数列的通项公式，如⑴我们全体正正偶数按从小到大的顺序构成数列:2，4，6，...2n...可用通项公式表示为an＝2n，n∈N*.－1的1次幂，2次幂，3次幂...构成的数列 ，－1，1，－1，1...可用通项公式法表示为an=(－1)n次，n∈N*.

1假设数列{an}的第n项an与n当中的关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式。有的数列的通项可以用两个或两个以上的式子来表示。没有通项公式的数列也是存在的，如全部质数组成的数列。按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数的项，各项依次叫做第1项（或首项），第2项，...，第n项，...。数列也可当成是一个定义域为自然数集N（或它的有限子集{1,2,3，...，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

2数列的大多数情况下形式可以写成a1，a2，...，an，...，这当中an是数列的第n项，也可以简记为{an}。

通项公式，指的是针对一个数列来说，用一个含n的式子表示这个数列中的任一项，n表示正整数。

乘法求通项公式=n(n+1)/2。假设数列{an}的第n项an与n当中的关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式（general formulas）。

、定义假设数列{an}的第n项与序号当中的关系可以用一个式子来表示,既然如此那，这个公式叫做这个数列的通项公式 　　简单的说 就是一个数列的规律,有了通项公式完全就能够写出数列二、特点通项公式：假设一个数列的第n项an与其项数n当中的关系可用式子an=f（n）来表示,这个式子就称为该数列的通项公式.1、通项公式一般不是唯一的,大多数情况下取其简单的形式； 　　2、通项公式以数列的项数n为唯一变量； 　　3、并不是每个数列都存在通项公式. 　　4、应用于等差数列或应用于某一不规则数列可以肯定某部分为等差的等差部分.三、原理数列定义：　　按一定次序排成的一列数叫数列.这当中,数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 　　数列的形式大多数情况下可表示为a1,a2,…,an,… （1、2、3、…、n为下标）　递推公式： 　　假设一个数列的第n项an与该数列的其他一项或多项当中存在对应关系的,这个关系就称为该数列的递推公式.比如斐波纳契数列的递推公式为an=an-1+an-2（n、n-1、n-2为下标）. 　　通项公式是要用科学的计算方式来求证的,这当中要用到各自不同的公理,定理,及各自不同的计算方式. 　　怎么由递推公式求通项公式重要是看递推公式的形式,不一样的形式方式不一样.　　如 　　an=a(n-1)+p或an=qa(n-a) 　　这是简单的等差型与等比型,这里就不赘述. 　　又如 　　an=p*a(n-1)+q,这样的形式可以用不动点法 　　令an-d=p[a(n-1)-d] 　　通过比较系数,可以把d用p与q表示出来（d=q/(1-p)） 　　然后就化成了等比型,完全就能够得出an+d,进一步得出an. 　　又如 　　an=p*a(n-1)+q*a(n-2)这样的形式 　　可以设 　　an-d*a(n-1)=p*[a(n-1)-d*a(n-2)] 　　也还是可以解出d,然后可以把an-d*a(n-1)得出,后再求an. 　　还有an=[a*a(n-1)+b]/[c*a(n-1)+d],这是分式型. 　　这时要设 　　an-k=a*[a(n-1)-k]/[c*a(n-1)+d],然后一般可以解出两个k值（k1、k2） 　　然后再两式相比,得： 　　(an-k1)/(an-k2)=[a(n-1)-k1][a(n-1)-k2],则可以得出(an-k1)/(an-k2),进一步得出an 　　总而言之,由递推公式求通项公式的类型相当多,每一种方式都有一定的差别,作此题时应该好好考虑考虑,确定一种优解法.四、应用编程方面 　　s=s+n；累加器 　　n=n+1；计数器 　　p=p*i；累乘器 　　一般用在循环体内

二项式定理好记的就是它的通项：第r-1项为Cnr 乘a的n-r次方 乘b的r次方。记住这个通项，每一项都拥有规律可找了