什么是泰勒公式，8个常见的泰勒公式有哪些

什么是泰勒公式？

在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够光滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实质上的函数值当中的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在17 的一封信里第一次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。实质上应用中，泰勒公式需截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这样的近似的误差。☆

8个常见的泰勒公式？

1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……

2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|1)

3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞x∞)

4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞x∞)

5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|1)

6、arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|1)

7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)

8、sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……

8个经常会用到泰勒公式:

sin ⁡ x = x − 1 6 x 3 + O ( x 3 ) arcsin ⁡ x = x + 1 6 x 3 + O ( x 3 ) \\sin x=x-\\frac{1}{6} x^{3}+O\\left(x^{3}\☆ight) \\quad \\arcsin x=x+\\frac{1}{6} x^{3}+O\\left(x^{3}\☆ight)sinx=x−

6

1

​

x

3

+O(x

3

)arcsinx=x+

6

1

​

x

3

+O(x

3

)

cos ⁡ x = 1 − 1 2 x 2 + x 4 4 ! + 0 ( x 4 ) ln ⁡ ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + O ( x 3 ) \\cos x=1-\\frac{1}{2} x^{2}+\\frac{x^{4}}{4 !}+0\\left(x^{4}\☆ight) \\quad \\ln (1+x)=x-\\frac{1}{2} x^{2}+\\frac{1}{3} x^{3}+O(x^{3})cosx=1−

2

1

​

x

2

+

4!

x

4

​

+0(x

4

)ln(1+x)=x−

2

1

​

x

2

+

3

1

​

x

3

+O(x

3

)

tan ⁡ x = x + 1 3 x 3 + O ( x 3 ) arctan ⁡ x = x − 1 3 x 3 + O ( x 3 ) \an x=x+\\frac{1}{3} x^{3}+O( x^{3}) \\quad \\arctan x=x-\\frac{1}{3} x^{3}+O\\left(x^{3}\☆ight)tanx=x+

3

1

​

x

3

+O(x

3

)arctanx=x−

3

1

​

x

3

+O(x

3

)

e x = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 6 x 3 + 0 ( x 3 ) ( 1 + x ) a = 1 + a x + + a ( a − 1 ) 2 ! x 2 + O ( x 2 ) e^{x}=1+x+\\frac{1}{2} x^{2}+\\frac{1}{6} x^{3}+0\\left(x^{3}\☆ight) \\quad(1+x)^{a}=1+a x++\\frac{a(a-1)}{2 !} x^{2}+O\\left(x^{2}\☆ight)e

x

=1+x+

2

1

​

x

2

+

6

1

​

x

3

+0(x

3

)(1+x)

a

=1+ax++

2!

a(a−1)

​

x

2

+O(x

2

)

泰勒公式是等号而不是等价，这个问题就使全部函数转化为幂函数，在利用高阶无穷小被低阶吸收的原理，可以秒杀大多数极限题。

常见泰勒公式：ln(1+x)=x-x^2/2。泰勒公式，应用于数学、物理领域是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

扩展资料

函数的定义一般分为传统定义和近代定义，函数的两个定义实质是一样的，只是叙述概念的出发点不一样，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发

函数的近代定义是给定一个数集A，假设这当中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x当中的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f

这当中核心是对应法则f，它是函数关系的实质特点。

泰勒公式是什么意思？

泰勒公式的推导运用了多次柯西中值定理，目标是，要找到f(x)的n阶展开式，并使误差项Rn(x)为(x-x0)^n的高阶无穷小，就要用柯西中值定理证明余项Rn(x)是存在的，而且，是可得出来的。

在所给出的展开式中，Rn(x)被写在后一项，把前面的n个含(x-x0)的代数式还有f(x0)都减到f(x)的一边,就得到了Rn(x)的表达式，因为题设f(x)有n+1阶导数，且(x-x0)^n的系数由f(x)的前n阶导数给出，自然有Rn(x0)=0，Rn在x0点的前n阶导数都为零，第n+1阶导数时，(x-x0)^n求导后都导成常数零，等号这边只剩了n+1阶可导的f(x)。即你第一处红笔画线处成立。

这样在n次使用柯西中值定理后，未知的Rn(x)的n+1阶导数可由f(x)的n+1阶导数所替换。Rn(x)被精确表示。第二。泰勒展开是在某点对f(x)进行展开，以此估计这一点附近的f(x)的值，使e^x这样没办法求值的函数可求。

故此，x是在一个小区间(x0附近)来取值的，因为这个原因f n+1(x)有界，可设为M 。

这样完全就能够对所导致的误差作坏的估计，以此保证估值的精确。

什么叫泰勒公式？

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数[1]。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在17 的一封信里第一次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时常常使用的近似方式之一，也是函数微分学的一项重要应用内容

用函数在某点的信息描述其附近取值的公式叫泰勒公式。泰勒公式要做的就是将全部的可导函数统一的形式表达出来。

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