求两直线间距离的公式是什么，数学中距离的定义

两平行线当中的距离公式：d=|C1-C2|/√(A²+B²)。两平行线方程分别是：Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0。

两平行线当中的距离公式

设两条直线方程为

Ax+By+C1=0

Ax+By+C2=0

则其距离公式为|C1-C2|/√(A²+B²)

推导：两平行直线间的距离就是从一条直线上任一点到另一条直线的距离，设点P(a，b)在直线Ax+By+C1=0上，则满足Aa+Bb+C1=0，即Aa+Bb=-C1，由点到直线距离公式，P到直线Ax+By+C2=0距离为

d=|Aa+Bb+C2|/√(A²+B²)

=|-C1+C2|/√(A²+B²)

=|C1-C2|/√(A²+B²)

在机器学习、人工智能领域经常会用到的距离计算公式。

曼哈顿距离

曼哈顿距离又称“计程车距离”，由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创。点P1(x1,y1)P1(x1,y1)和P2(x2,y2)P2(x2,y2)的距离请看下方具体内容： distance(P1,P2)=|x2−x1|+|y2−y1|distance(P1,P2)=|x2−x1|+|y2−y1|

欧几里得距离

欧几里得距离也叫做（欧氏距离）是欧几里得空间中两点的“普遍”（直线距离）。点P1(x1,x2,x3,,,xn)P1(x1,x2,x3,,,xn)和P2(y1,y2,y3,,,yn)P2(y1,y2,y3,,,yn)的距离请看下方具体内容： distance=(x1−y1)2+(x2−y2)2+,,,+(xn−yn)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=∑n1(xi−yi)2−−−−−−−−−−−√distance=(x1−y1)2+(x2−y2)2+,,,+(xn−yn)2=∑1n(xi−yi)2

切比雪夫距离

切比雪夫距离（Chebyshev distance），二个点当中的距离定义为其各坐标数值差的大值。点P1(x1,x2,x3,,,xn)P1(x1,x2,x3,,,xn)和P2(y1,y2,y3,,,yn)P2(y1,y2,y3,,,yn)的距离请看下方具体内容： distance(P1,P2)=max(|x1−y1|,|x2−y2|,,,|xn−yn|)distance(P1,P2)=max(|x1−y1|,|x2−y2|,,,|xn−yn|)

闵尔科夫斯基距离

闵尔科夫斯基距离（闵式距离），以俄国科学家闵尔科夫斯基命名是欧氏距离的推广是一组距离的定义。点P1(x1,x2,x3,,,xn)P1(x1,x2,x3,,,xn)和P2(y1,y2,y3,,,yn)P2(y1,y2,y3,,,yn)的距离请看下方具体内容： distance(P1,P2)=∑n1(xi−yi)p−−−−−−−−−−−√pdistance(P1,P2)=∑1n(xi−yi)pp

当p=1时，就是曼哈顿距离

当p=2时，就是欧式距离

当p-∞时，就是切比雪夫距离

马氏距离

由印度科学家马哈拉诺比斯提出，表示数据的协方差距离。是一种有效的计算两个位置样本集相似度的方式。与欧氏距离不一样的是他考虑到各自不同的特性当中的联系并且是尺度无关的，即独立于测量尺度。假设协方差矩阵为单位矩阵，马氏距离就简化为欧式距离，假设协方差矩阵为对角阵，其也可以称为正规化的马氏距离。

汉明距离

在信息论中，两个等长字符串的汉明距离是两个字符串相对应位置上的不一样字符串的个数。

x=x1,x2,,,xny=y1,y2,,,yndistance(x,y)=∑1nI(xi,yi)I(xi,yi)={1,0,ifxi≠yiifxi=yix=x1,x2,,,xny=y1,y2,,,yndistance(x,y)=∑1nI(xi,yi)I(xi,yi)={1,ifxi≠yi0,ifxi=yi

余弦相似度

余弦相似度是通过测量两个向量夹角的度数来度量他们当中的相似度。0度的相似度是1，90度的相似度是0，180的相似度是-1。结果的测量只与向量的指向方向相关，与向量的长度无关。余弦相似度一般用于正空间，因为这个原因给出的值为0到1当中。针对A和B的距离是：

cos(θ)=A⋅B||A||⋅||B||=∑n1(Ai×Bi)∑ni(Ai)2−−−−−−−√×∑ni(Bi)2−−−−−−−√cos(θ)=A⋅B||A||⋅||B||=∑1n(Ai×Bi)∑in(Ai)2×∑in(Bi)2

杰卡德距离

杰卡德距离是杰卡德相似系数的补集。杰卡德相似系数用于度量两个集合当中的相似性，定义为两个集合交集集合元素的个数比上并集集合元素的个数。

J(A,B)=A∩BA∪BdJ=1−J(A,B)=A∩B−A∪BA∪B{J(A,B)=10≤J(A,B)1 if A=∅andB=∅ if elseJ(A,B)=A∩BA∪BdJ=1−J(A,B)=A∩B−A∪BA∪B{J(A,B)=1 if A=∅andB=∅0≤J(A,B)1 if else

皮尔森有关系数

皮尔森有关系数是一种线性有关系数。是两个变量线性有关程度的统计量，皮尔森有关系数的绝对值越大则有关性越强。

r=∑ni((Xi−x¯)(Yi−y¯))∑n1(xi−x¯)2−−−−−−−−−−√∑ni(yi−y¯)2−−−−−−−−−−√r=∑in((Xi−x¯)(Yi−y¯))∑1n(xi−x¯)2∑in(yi−y¯)2

编辑距离

编辑距离（Edit Distance）:又称Levenshtein距离，由俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出。是指两个字串当中，由一个转成另一个所需的少编辑操作次数。许可的编辑操作涵盖将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。

K-L散度

K-L散度（Kullback-Leibler Divergence）：即相对熵；是衡量两个分布(P、Q)当中的距离；越小越相似。

D(P||Q)=∑inP(i)logP(i)Q(i)

两平行线分别是L1：Ax+By+C1=0，L2：Ax+By+C2=0 在L2上任取一点P（x0，y0) 则Ax0+By0+C2=0,Ax0+By0=-C2 按照点到直线距离公式： P到L1距离为： |Ax0+By0+C1|/√（A2+B2） =|-C2+C1|/√（A2+B2） =|C1-C2|/√（A2+B2）

距离，汉语词汇，拼音jù lí，指（两物体）在空间或时间上相隔或间隔的长度。也可指感情、认识等方面的差距。

中文名

距离

拼音

jù lí

近义词

间隔

释义

指（两物体）在空间或时间上相隔或间隔的长度

注音

ㄐㄨˋ ㄌㄧˊ

距离-释义

（动）两者间相隔：天津～北京约有一百二十公里。（2）（名）相隔的长度：～很远。［近］间隔。

中的一个距离，定义了距离的值，称为一个距离空间，记为，在不导致混乱的情绪以下，简记为。距离，汉语词汇，指，两物体，在空间或时间上相隔或间隔的长度。也可指感情，认识等方面的差距。距离的定义不可以再是空间，而是时间。距离大多数情况下指两点当中的线段。

应该讲两当中长度为距离吧，距离大多数情况下讲起点到终点卡长。例如赛场上一百米，从队员前面白色横线起跑(为起点)跑到前方横线(终点)为一百米，也可说成一百距离。距离可以用远和近，也可说长短。

还有一种说法，就是人和人距离是指思想上，人的境界不一样，有差距。

1.在空间或时间上相隔。

李劼人 《大波》第一部第四章：“ 黄 家距离 少城公园 不过一条长街。” 丁玲 《韦护》第一章：“船到宽广的湖面了，都慢慢荡着，彼此距离得很近，各位考生很方便的谈起话来。” 许杰 《惨雾》下：“这是距离 多智 受伤的那次战争后面的第四天了。”

2.在空间或时间上相隔的长度。

沙汀 《涓埃集·闯关六》：“出发的村子和铁道当中的距离，至多不过两百里路。” 老舍 《黑白李》：“五年是个长距离，在这个时代。” 柯岩 《奇异的书简》五：“但是时间是不等人的！ 中国 和世界先进科学的距离已经越拉越大了！”

3.指认识、感情等方面的差距。

郁达夫 《沉沦》二：“他同他考生中间的距离，一天一天的远背起来。” 柳青 《铜墙铁壁》第二章：“虽然区长有什么不一样的看法和他还有距离，而且，相当地坚持意见，可是他准备作一次后的努力来说服他。” 杜鹏程 《在和平的日子里》第三章：“唉！她做梦也梦不到她的父亲和她的儿子当中的可悲的距离！”

4.在数学中，距离是泛函分析中基本的概念之一。它所定义的距离空间连接了拓扑空间与赋范线性空间等其他空间是学习泛函分析第一接触的概念。

1、欧式距离（欧几里得距离）

欧式距离是易理解的距离定义，即各坐标点的坐标之差的平方和相加，然后开根号。

二维平面上点 与点 当中的距离公式是：



n维空间上点 和点 当中的距离公式是：



2、曼哈顿距离

曼哈顿距离是各坐标点的坐标差值相加。

二维平面上点 与点 当中的距离公式是：



n维空间上点 和点 当中的距离公式是：



3、切比雪夫距离

切比雪夫距离是各坐标的坐标差值中的大值。

二维平面上点 与点 当中的距离公式是：



n维空间上点 和点 当中的距离公式是：



4、闵可夫斯基距离

闵氏距离是各种距离的概括性描述。

两个n维的点 与 当中的闵式距离可以定义为：



当p 1时，上面说的公式即为曼哈顿距离；

当p 2时，上面说的公式即为欧式距离；

当的 时候，上面说的公式即为切比雪夫距离。

5、余弦相似度

余弦相似度用于衡量两个向量当中的相似程度，衡量的标准是两向量当中夹角的余弦值。已知向量 与向量 的内积表示为：



则可以得到余弦相似度为：



6、马氏距离

马氏距离表示的是数据的协方差距离，经常会用到于测量未知样本集与已知样本集的相似性。它与欧氏距离的不一样之处在于它考虑了数据集的有关性并且是尺度不变的。针对均值为 ，协方差矩阵为S的多变量矢量，其马氏距离为：



马氏距离也可定义为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为S的随机变量  与 的差异程度：



假设协方差矩阵为单位矩阵，马氏距离就简化为欧式距离；假设协方差矩阵为对角阵，其也可以称为正规化的马氏距离：



7、汉明距离

汉明距离是为了让用在数据传输差错控制编码里面的，如111000与111001的汉明距离是1，因为它有一位数明显不同。

生与死本是一种永远没办法溶合的距离，而近在咫尺却形同陌路是单相思者的心和刚才爱的人更遥远的距离。相爱却不可以相处，有情人不可以成眷属是千古遗憾的情人间的距离，而明明爱着却装着不放在心上是矛盾而痛苦，逆离真心的距离。可，比这更遥远的距离，你就可以清楚的知道？是心的冷漠是对爱的藐视是面对爱自己的人断然掘上一条没办法跨越的沟渠，把爱远远拒绝在世界上遥远的距离外。

距离原本可以出现美，但这样一种世界上遥远的距离反而痛苦的。全诗以爱为主线，诗人敏感的字里行间，流露着痛苦而无奈的情感，必须令人从容。诗歌简短而整齐，全诗由四组“不是……而是……”构成，采用对比的手法，层层深入，把读者带到了那种痛苦的遥远的距离，并把诗人情怀感染给每一个读者。读至后令人恍然大悟时-世界上遥远的距离其实是心与心的距离，早已泪眼模糊。

人，为什么不放下心的冷漠，把心与心的距离拉近，好好去感受别人赋予你的爱呢？

别让心与心成为世界上遥远的距离吧！这是一种悲哀。

欧式常见,几何/数学用的大多是这个,是在m维空间中两个点当中的真实距离.同样2个点a和b,不管空间坐标系如何定义,距离都一样.马氏距离是数据的协方差距离,计算是与整体样本相关的,同样的两个样本a和b，放入两个不一样的整体中，后计算得出的两个样本间的马氏距离大多数情况下是不一样的，除非这两个整体的协方差矩阵一样；

小距离判别的主要步骤可简述请看下方具体内容：

(1)确定分类地区和波段，配准各分量；

(2)选择训练区；

(3)按照各种训练区图象数据计算；

(4)将训练区外图象象元逐个逐类按判别规则相对较大小，得到类别；

(5)出现分类图象；

(6)检验结果，假设错误有点多需重新选择训练区；

(7)硬拷贝输出专题图象。

距离判别法：距离判别方是通过计算待测点到各个分类的距离，在按照计算出距离的大小，进行判别该待测点属于那个分类。但是，距离的计算是通过马氏距离进行计算的，而不是我们平常几何中用的欧式距离。

欧式距离矩阵和马市距离矩阵都是对称的矩阵，他们两个从原理来说都差不多的

距离判别法是简单、直观的一种判别方式，该方式适用于连续型随机变量的判别，对变量的可能性分布没有限制。

原理：计算待测点与各种的距离，取短者为其所属分类。值得注意的是，距离的衡量有不少种方法，这里采取的是马氏距离。

性质1： 设X是一个随机变量，其分布函数为F(x)，则Y=F(X)服从在〔0，1〕的均匀分布。

性质2： 设X1,K,Xn是某个分布的一个简单样本，其分布函数为F(x)，由性质1就可以清楚的知道，在可能性意义下，F(X1),F(X2),K,F(Xn)在（0,1）上呈均匀分布，按从小到大依次排序，记为F(X1),F(X2),K,F(Xn)，其对应理论值应为ri=i-0,5[]n，i=1，2，…，n，对应分布函数的反函数值F-1(r1),F-1(r2),K,F-1(rn)（在卡方分布中即为卡方成绩）应很接近X1,X2K,Xn，故在可能性意义下，这些散点(X1,F-1(r1)),(X2,F-1(r2)),L,(Xn,F-1(rn))可以在一条直线上。

按照性质2，假设X服从正态分布，则散点理论上应落在一直线上，可以用Pearson系数刻画这样的分布。但因为随机变异的存在，Pearson系数依然不会等于1，故此，通过随机模拟的方式，制定出Pearson系数的95%界值下限。

性质3： 由条件可能性公式P(X,Y)=P(Y|X)P(X)就可以清楚的知道：（X，Y）服从二元正态分布的充分必要条件是固定X，Y服从正态分布(条件可能性分布)并且X的边际分布为正态分布。由线性回归的性质ε=Y-(α+βX)就可以清楚的知道，固定X，Y的条件可能性分布为正态分布的充分必要条件是线性回归的残差ε服从正态分布，由此可得：（X，Y）服从二元正态分布的充分必要条件是X的边际分布为正态分布还有线性回归模型Y=α+βX+ε中的残差服从正态分布。

设X来自于正态整体，从正态整体中随机模拟抽样5000次，每一次抽样样本含量分别是7至50，对F(x)求秩，得出排序后的F(x)和排序后的X的Pearson有关系数。表1 随机模拟5000次得到的检验正态分布的Pearson有关系数的界值（略）

类似地，我们也可用同样的方式得到检验卡方分布的Pearson有关系数的界值表（简化表）表2 有关系数界值表（略）

2 随机模拟验证

21 Pearson有关系数界值表的随机模拟验证

设X来自于正态整体，从正态整体中随机模拟抽样5000次，每一次抽样样本含量分别是10，20，30，40，50，并计算对应的Pearson卡方系数，还有落在界值外面的比例，即拒绝比例，再在同一批数据的前提下用McNemar检验比较本方式和Swilk法的差别。表3 （一元正态分布）模拟次数（略）表4（一元偏态分布，χ2)模拟次数（略）

以上方式拒绝比例在样本量为7的可信区间为［78.37%，94.12%］，在其余样本量时都接近百分之100，可以证实是正确的。

22 卡方分布界值表的随机模拟验证

表5 卡方分布：模拟5000次（略）

23 马氏距离的随机模拟验证

按照马氏距离的定义，从正态分布整体中随机抽取样本量分别是10，20，30，40，50的样本模拟5000次，按照上面提到的方式以卡方成绩对X1,X2K,Xn求Pearson系数，并按照以上的有关系数界值表，计算对应的统计量，即拒绝比例。表6 马氏距离落在Pearson系数界值表外的比例（略）

24 二元正态分布资料的随机模拟验证

设定一个二维矩阵A，分别得出特点值P和特点向量Z，设X的元素均来自于正态整体分布，则Y=Z′×X必服从二元正态分布，随机模拟5000次，按照性质三讲解的方式验证的拒绝比比如下。表7 （二元正态分布）模拟次数（略）表8 （二元偏态分布，χ2）模拟次数（略）

25 三元正态分布资料的随机模拟验证

类似地，随机模拟5000次，用同样方式进行验证，得到针对三元正态分布数据的拒绝比例。表9 （三元正态分布）模拟次数：5000次