两角和与差的三角函数公式，三角函数两角和差的变形公式推导

两角和差的三角函数公式有：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ；cos（α±β）=cosαcosβ负正sinαsinβ；tan（α±β）=tanα±tanβ／1负正tanαtanβ。

两角和（差）公式涵盖两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。两角和与差的公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式全部在此公式基础上变形得到的。

按照欧拉公式，e ^Ix=cosx+isinx 令x=a+b 得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb=sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）

故此，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a+b)=sinacosb=sinbcosa 正切的和差化积 tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明） cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ) 证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立

余切公式有sin^2(α)+cos^2(α)=1、sinα=tanα×cosα、sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα、tanα·cotα＝1等。在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切，余切与正切互为倒数，用“cot+的视角”表示，其函数的图象由一部分隔离的分支组成

两角和（差）公式涵盖两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。两角和与差的公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式全部在此公式基础上变形得到的。

cot (a + b) = 1 / tan (a + b)

= (1 - tan a tan b) / (tan a + tan b)

= (cot a cot b - 1) / (cot b + cot a)

cot (a - b) = 1 / tan (a - b)

= (1 + tan a tan b) / (tan a - tan b)

= (cot a cot b + 1) / (cot b - cot a)

tan两角和公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan两角差公式：tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)tan两倍角公式：tan2α=2tanα/(1-tan²α)

tan(A+B)=sin(A+B)/cos(A+B)=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ-sinαsinβ)，同时除以cosAcosB=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)。



诱导公式

公式一:

设α为任意角,终边一样的角的同一三角函数的值相等:

sin(2kπ+α)=sinα

cos(2kπ+α)=cosα

tan(2kπ+α)=tanα

cot(2kπ+α)=cotα

公式二:

设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值当中的关系:

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

三角函数两角和差公式记忆口诀

正弦异名加一起，余弦同名加减异，正切就是正比余。正弦公式符号同，余弦公式正变负三角函数两角和差公式是什么

　　两角和差公式涵盖两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。

　　两角和差公式正弦公式：sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ；sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ

　　两角和差公式正弦公式：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ；cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　两角和差公式正弦公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)；tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

两角和与差的正弦公式口诀都是“闪可可闪，符号不反”

sin0=sin0°=0

cos0=cos0°=1

tan0=tan0°=0sin15=0.650；

sin15°=0.259

cos15=-0.759；cos15°=0.966

tan15=-0.855；tan15°=0.268

sin30°=1/2

cos30°=0.866；

tan30°=0.577；

sin45°=0.707；

cos45°=0.707

tan45=1.620；tan45°=1

sin60=-0.305；sin60°=0.866

cos60=-0.952；cos60°=1/2

tan60=0.320；tan60°=1.732

sin75=-0.388；sin75°=0.966

公式一：

设α为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值当中的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值当中的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值当中的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值当中的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值当中的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

针对k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，

（1）当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

（2）当k是奇数时，得到α对应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot,cot→tan.

（奇变偶不变）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）

比如：

sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，故此，取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。

故此，sin(2π－α)＝－sinα

上面说的的记忆口诀是：

奇变偶不变，符号看象限。

公式右边的符号为把α默认为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α

所在象限的原三角函数值的符号可记忆

水平诱导名不变；符号看象限。

各自不同的三角函数在四个象限的符号如何判断，也可记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；

第二象限内唯有正弦是“＋”，其余都是“－”；

第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；

第四象限内唯有余弦是“＋”，其余都是“－”．

其他三角函数知识：

同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα ·cotα＝1

sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1

商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）

构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。

（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；

（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。

（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝---

1－tanα ·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝---

1＋tanα ·tanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝--—

1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝--—

2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝--—

2

1－cosα

tan^2(α/2)＝--—

1＋cosα

万能公式

⒌万能公式

2tan(α/2)

sinα＝---

1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝---

1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝---

1－tan^2(α/2)

万能公式推导

附推导：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))

然后用α/2代替α就可以。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可以通过正弦比余弦得到。

三倍角公式

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

3tanα－tan^3(α)

tan3α＝---

1－3tan^2(α)

三倍角公式推导

附推导：

tan3α＝sin3α/cos3α

＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα

＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα

＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)

＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα

＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))

＝4cos^3(α)－3cosα

即

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

三倍角公式联想记忆

记忆方式：谐音、联想

正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，故此，要“挣钱”(音似“正弦”)）

余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完后面还有“余”）

☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋β α－β

sinα＋sinβ＝2sin—-·cos—-

2 2

α＋β α－β

sinα－sinβ＝2cos—-·sin—-

2 2

α＋β α－β

cosα＋cosβ＝2cos—--·cos—--

2 2

α＋β α－β

cosα－cosβ＝－2sin—--·sin—--

2 2

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式

sinα ·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα ·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα ·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinα ·sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

和差化积公式推导

附推导：

第一,我们清楚sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

故此，,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还清楚cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

故此，,把两式相加,我们完全就能够得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

故此，我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只要能一个变形,完全就能够得到和差化积的四个公式.

我们把上面说的四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,既然如此那，a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示完全就能够得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

向量的运算

加法运算

AB＋BC＝AC，这样的计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这样的计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

针对零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。

|a＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法满足全部的加法运算定律。

减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量也还是是零向量。

（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。

数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这样的运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ 0时，λa的方向和a的方向一样，当λ 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。

设λ、μ是实数，既然如此那，：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ + μ)a = λa + μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。

tan两角和差公式是tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) ，tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)。

两角和（差）公式涵盖两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。两角和与差的公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式全部在此公式基础上变形得到的。

初三时学过锐角三角函数的定义及其应用，到了高一必修4学了任意角的三角函数，其在单位圆的定义，诱导公式（必修2中求两直线垂直的斜率关系会用到这当中一条），两角和公式，二倍角公式，三角函数的图像与性质，三角恒等变换。

必修4的向量也和三角函数联系紧密，证明两角和公式向量的作用很强大。

必修5的解三角形更是离不开三角函数了。到了选修系列时有学到矩阵与变换，参数方程，也会用到它。