怎么求无穷小量，常用的无穷小代换公式

无穷小量就是以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。比如，f(x)=(x－1)^2是当x→1时的无穷小量，f(n)1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sin(x)是当x→0时的无穷小量。非常要指出的是，千万不要把很小的数与无穷小量混为一谈

无穷小量计算只要记住一点就好：

假设是在有lim 的方程中，可以都计为 0 不需要担心出错。

此外全部项。不管几次。都可以跟无穷小量里面的数相乘。然后得涵盖里面数的无穷小量。既然如此那，结果仍是无穷小量。

这里引用我在另一个相似问题的回答

定义：无穷小量。假设一个表达式 满足 ，我们称 为 处的无穷小量，简称无穷小。

我们给出定义：无穷小的阶数。设 和 为 处的无穷小。若 ，则称 为比 更高阶的无穷小；若 ，则称 为比 更低阶的无穷小；若 ，则称 为比 同阶无穷小；特殊地，若 ，则称 与 为等价无穷小。若 ，则称 为阶无穷小；（上面说的 为非零实数）

由定义简单推导可以得到，若 与 分别是m和n阶无穷小且 ，则 为m阶无穷小

以上是无穷小的阶数的定义，在实质上答题途中，可以按照等价无穷小还有Taylor公式来判断无穷小的阶数。但是，等价只可以用于无穷小量作为乘法的因子时

举个栗子：明显， 为0处的1阶无穷小； ，这当中 表示等价。于是 为0处的一阶无穷小。考虑另一个例子，，这时若进行等价得到 ，没有意义，也就不可以采取等价方式。这时可以考虑Taylor公式，也就是在0附近， ，这当中 表示比 更高阶的无穷小，故此，为2阶无穷小

在判断无穷小的途中，掌握并熟悉经常会用到的无穷小等价公式与经常会用到的Taylor公式是必要的，希望能有效的掌握并熟悉并熟练运用

当x→0，且x≠0，则 x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx； x~ln(1+x)~(e^x-1)； (1-cosx)~x*x/2； [(1+x)^n-1]~nx； loga(1+x)~x/lna；a的x次方~xlna；(1+x)的1/n次方~1/nx(n为正整数）；注：^ 是乘方，~是等价于，

在和式中不可以使用等价无穷小代换。

整个和式xlne - x^2ln(1+1/x)是一个“∞-∞”的形式，故此，不可以独自计算任意一个极限。从整体上来看，xlne - x^2ln(1+1/x)＝x^2×[1/x - ln(1+1/x)]是“∞*0”的结构，把x^2放到分母上，为“0/0”型，可用洛必达法则（这里把1/x换元再求导会简单不少，另外用泰勒公式也可以计算）

当x→0，且x≠0，则 x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx； x~ln(1+x)~(e^x-1)； (1-cosx)~x*x/2； [(1+x)^n-1]~nx； loga(1+x)~x/lna；a的x次方~xlna；(1+x)的1/n次方~1/nx(n为正整数）；注：^ 是乘方，~是等价于。

当x趋近于0时:e^x-1 ~ xln(x+1) ~ xsinx ~ xarcsinx ~ xtanx ~ xarctanx ~ x1-cosx ~ (x^2)/2tanx-sinx ~ (x^3)/2(1+bx)^a-1 ~ abx值得注意的是等价无穷小的替换大多数情况下用在乘除中，

大多数情况下不需要在加减运算的替换求极限时，使用等价无穷小的条件：1. 被代换的量，在取极限时极限值为0；

2. 被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是，作为加减的元素时就不可以，加减时可以整体代换，未必能随意独自代换或分别代换。

当x→0时,

　sinx~x

　tanx~x

　arcsinx~x

arctanx~x

1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1

（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)

（e^x）-1~x

　ln(1+x)~x

(1+Bx)^a-1~aBx

[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x

loga(1+x)~x/lna

（1+x)^a-1~ax(a≠0)

值得注意的是,等价无穷小大多数情况下只可以在乘除中替换,

在加减中替换有的时候，会出错（加减时可以整体代换,不可以独自代换或分别代换）

等价无穷小替换公式请看下方具体内容：

1、sinx~x

2、tanx~x

3、arcsinx~x

4、arctanx~x

5、1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1

6、（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)

7、（e^x）-1~x

8、ln(1+x)~x

9、(1+Bx)^a-1~aBx

10、[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x

11、loga(1+x)~x/lna

12、（1+x)^a-1~ax(a≠0)

求极限时使用等价无穷小的条件：

1、被代换的量，在去极限时极限值为0。

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是，作为加减的元素时就不可以。

无穷小就是以数零为极限的变量。然而，常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。

三阶无穷小的定义请看下方具体内容：

x-0；

x是一阶无穷小；

x^2是二阶无穷小；

则x^3是三阶无穷小。

无穷小

就是以数零为极限的变量。确切地说，当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。比如，f(x)=(x－1)^2是当x→1时的无穷小量，f(1/n)=是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量（注意：非常小的数和无穷小量不一样）。

（1）x趋于0-，负无穷大；x趋于0+，正无穷大，即无穷非常多（2）分子为周期函数，分母无穷大，趋于0，无穷小量（3）公式性质，趋于0，无穷小量（4）cos函数趋于1，x方趋于无穷大，则趋于无穷大，无穷非常多

重要等价无穷小的公式：前提条件：当x→0时：

（1）sinx~

x（2）tanx~

x（3）arcsinx~

x（4）arctanx~

x（5）1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1（6）（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)（7）（e^x）-1~

x（8）ln(1+x)~x（9）(1+Bx)^a-1~aBx（10）[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x（11）loga(1+x)~x/lna（12）（1+x)^a-1~ax(a≠0)

若两个无穷小之比的极限为1，则等价无穷小代换经常会用到公式：arcsinx ~ x；tanx ~ x；e^x-1 ~ x；ln(x+1) ~ x；arctanx ~ x；1-cosx ~ (x^2)/2；tanx-sinx ~ (x^3)/2；(1+bx)^a-1 ~ abx；

扩展资料：等价无穷小替换是计算未定型极限的经常会用到方式，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。一般使用等价无穷小的条件：1、被代换的量，在取极限时极限值为0；2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是，作为加减的元素时就不可以。

当x→0，且x≠0，则 x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx； x~ln(1+x)~(e^x-1)； (1-cosx)~x*x/2； [(1+x)^n-1]~nx； loga(1+x)~x/lna；a的x次方~xlna；(1+x)的1/n次方~1/nx(n为正整数）；注：^ 是乘方，~是等价于，

在和式中不可以使用等价无穷小代换。

整个和式xlne - x^2ln(1+1/x)是一个“∞-∞”的形式，故此，不可以独自计算任意一个极限。从整体上来看，xlne - x^2ln(1+1/x)＝x^2×[1/x - ln(1+1/x)]是“∞*0”的结构，把x^2放到分母上，为“0/0”型，可用洛必达法则（这里把1/x换元再求导会简单不少，另外用泰勒公式也可以计算）

当x→0，且x≠0，则 x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx； x~ln(1+x)~(e^x-1)； (1-cosx)~x*x/2； [(1+x)^n-1]~nx； loga(1+x)~x/lna；a的x次方~xlna；(1+x)的1/n次方~1/nx(n为正整数）；注：^ 是乘方，~是等价于。

当x→0时，等价／量无穷小代换公式sinx、tanx、arcsinx、arctanx、e的x次方－1、In（1＋x）