泰勒公式本质理解，泰勒公式的深度解释是什么

自己的理解: 泰勒公式实质是用简单多项式函数的和的形式来模拟,或者近似处理一部分复杂函数, 例如说,求sin X的值, 根据三角函数的定义,方式可能有两个 用尺规做出23度的角,或者利用sin x图像估算,但这得出的值精确度完全依赖于测量工具的靠谱与否,不可以满足我们的需求。

泰勒公式-1712年布鲁克·泰勒提出的公式

数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实质上的函数值当中的偏差。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里第一次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年以前，先提出了带有余项的目前形式的泰勒定理。

泰勒公式的推导运用了多次柯西中值定理，目标是，要找到f(x)的n阶展开式，并使误差项Rn(x)为(x-x0)^n的高阶无穷小，就要用柯西中值定理证明余项Rn(x)是存在的，而且，是可得出来的。

在所给出的展开式中，Rn(x)被写在后一项，把前面的n个含(x-x0)的代数式还有f(x0)都减到f(x)的一边,就得到了Rn(x)的表达式，因为题设f(x)有n+1阶导数，且(x-x0)^n的系数由f(x)的前n阶导数给出，自然有Rn(x0)=0，Rn在x0点的前n阶导数都为零，第n+1阶导数时，(x-x0)^n求导后都导成常数零，等号这边只剩了n+1阶可导的f(x)。即你第一处红笔画线处成立。

这样在n次使用柯西中值定理后，未知的Rn(x)的n+1阶导数可由f(x)的n+1阶导数所替换。Rn(x)被精确表示。第二。泰勒展开是在某点对f(x)进行展开，以此估计这一点附近的f(x)的值，使e^x这样没办法求值的函数可求。

故此，x是在一个小区间(x0附近)来取值的，因为这个原因f n+1(x)有界，可设为M 。

这样完全就能够对所导致的误差作坏的估计，以此保证估值的精确。