直线与椭圆相交的弦长公式推导，直线与椭圆弦长公式的推导

=√(1+k²)[(xA+xB) ²-4xAxB]。推导请看下方具体内容图:

椭圆：x2/a2 + y2/b2 =1

直线：ax+by+c=0，斜率为k

联立2个方程，得到一个一元二次方程。

既然如此那，公式为：

d=根号（1+k方） *绝对值（x1-x2)

或d=根号（1+1/k方） *绝对值（y1-y2)

一般会吧x1-x2化为根号（（x1+x2)^2 -4x1x2)

y也是

顺面说一句，圆锥曲线的弦长都是这个

直线y=kx+b

椭圆：x²/a²+y²/b²=1

弦长=√(1+k²)[(xa+xb) ²-4xaxb]

这当中a，b是直线和椭圆的交点

xa和xb是点a和b的横坐标

椭圆与直线相交的弦长公式：直线：y=kx+b，椭圆：x²/a²+y²/b²=1√（1+k²）[（xA+xB）²-4xAxB]。这当中A，B是直线和椭圆的交点，xA和xB是点A和B的横坐标。

椭圆是紧跟两个焦点的平面中的曲线，让针对曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因为这个原因是圆的概括，其是具有两个焦点在一样位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，针对椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字

椭圆弦长公式是一个数学公式，有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x(或有关y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+K²)[(X1+X2)² - 4·X1·X2]得出弦长。

设而不求的思想方式针对求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而，针对过焦点的圆锥曲线弦长解答利用这样的方式相比较来说有点麻烦，利用圆锥曲线定义及相关定理导出各自不同的曲线的焦点弦长公式就更为简捷。

椭圆弦长公式是一个数学公式，有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x(或有关y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+K²)[(X1+X2)² - 4·X1·X2]得出弦长。

设而不求的思想方式针对求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而，针对过焦点的圆锥曲线弦长解答利用这样的方式相比较来说有点麻烦，利用圆锥曲线定义及相关定理导出各自不同的曲线的焦点弦长公式就更为简捷。

椭圆与直线相交的弦长公式：直线：y=kx+b，椭圆：x²/a²+y²/b²=1√（1+k²）[（xA+xB）²-4xAxB]。这当中A，B是直线和椭圆的交点，xA和xB是点A和B的横坐标。

椭圆是紧跟两个焦点的平面中的曲线，让针对曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因为这个原因是圆的概括，其是具有两个焦点在一样位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，针对椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆弦长公式是AB=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]。

椭圆弦长公式是一个数学公式，有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x（或有关y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式得出弦长。

推导过程：

设直线y=kx+b。

代入椭圆的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1，设两交点为A、B，点A为（x1,y1)，点B为(x2,y2)，则有AB=√ [(x1-x2)²+(y1-y2)²]，把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入,则有：

AB=√ [(x1-x2)²+(kx1-kx2)²。

=√ [(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]。

=│x1-x2│ √ (1+k²)　同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]。

直线和椭圆的交点（默认一定存在交点，且直线 A!=0，B!=0）。

直线：Ax+By+C=0。

椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1。

求直线和椭圆的交点：

(B^2+(A^2*a^2)/b^2)*y^2 + 2*B*C*y+C^2-A^2*a^2=0。

令m=(B^2+(A^2*a^2)/b^2)。

n=2*B*C。

p=C^2-A^2*a^2。

令m1=(A^2+(B^2*b^2)/a^2)。

n1=2*AC。

p1=C^2-B^2*b^2。

得到y=(-n±√(b^2-4*m*p))/2*m。

当y=(-n-√(b^2-4*m*p))/2*m；x=(-n1-√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1。

当y=(-n+√(b^2-4*m*p))/2*m；x=(-n1+√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1。

y=kx+b 截椭圆所得的弦长

请将直线化为参数方程:

y-b=k(x-0) 直线过(0,b)定点的参数方程:

k=tana 设k1=sin(arctana) k2=cos(arctana)

参数方程为:

x=0+k2t

y=b+k1t

这当中t代表到直线上一点(x,y)到直线上一点(0,b)的距离(有方同性,是向量).

于是直线截y=f(x)的弦长就是两个交点到(0,b)的向量差,即|t1-t2|

将x=k2t y=b+k1t 代入x^2/a^2+y^2/d^2=1

可得到:k2^2t^2/a^2+(b^2+2k1tb+k1^2t^2)/d^2-1=0

(k2^2/a^2+b^2/k1^2/d^2)t^2+(2k1b)td^2+b^2/d^2-1=0

|t1-t2|^2=|t1+t2|^2-4t1t2下面如有数字,就相当容易,因为这是初中的韦达定理,没有什么必要去死记.

总而言之|t1-t2|是弦长.

不管是其它什么图形,都可以用这样的方式

直线y=kx+m(k为常数）与椭圆x^/a^+y^/b^=1(ab0)相交，∴b^x^+a^(k^x^+2kmx+m^)=a^b^,(a^k^+b^)x^+2a^kmx+a^m^-a^b^=0,△=4a^4k^m^-4(a^k^+b^)(a^m^-a^b^)=4a^b^(a^k^+b^-m^),弦长l=√△/(a^k^+b^)*√(k^+1),∴当且仅当m=0,即直线过椭圆中心时弦长l大

直线与椭圆相交的弦长公式：|PF1|+|PF2|=2a（2a|F1F2|）。平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。

椭圆与其他两种形式的圆锥截面有不少相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可被定义为一组点，让曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的一样点的距离的比值给定行是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1] 椭圆弦长公式通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x(或有关y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式得出弦长。假设直线为：y=kx+b代入椭圆的方程可得：x^2/a^2 + (kx+b)^2/b^2=1。设两交点为A、B，点A为（x1，y1)，点B为(X2，Y2)则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2把y1=kx1+by，2=kx2+b分别代入，则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√(1+k^2)*│x1-x2│同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]设而不求的思想方式针对求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而，针对过焦点的圆锥曲线弦长解答利用这样的方式相比较来说有点麻烦，利用圆锥曲线定义及相关定理导出各自不同的曲线的焦点弦长公式。