标准正态分布公式书写，正态分布标准化公式推导图

正态分布标准化公式

因为X ～ N(μ, σ^2), Y =(X- μ)/ σ 所 以

P(x)=(2 π )-^1(/2 )* σ ^- 1( )*exp{[-(x- μ )^2]/(2 σ。^2)}

这当中 F(y)为Y 的 分布函数 ，F (x)为X 的分布函数。

而 F(y)=P(Y ≤ y)=P((X -μ)/ σ≤ y)=P(X≤ σy+μ)=Fx( σ所y+以μ)

p(y)=F'(y)=F'x( σ y+μ )* σ =P( σ y+μ )* σ

=[(2 π )^-1(/2)]*e^[- （ y^2)/2]

以此 Y～N(0,1) 。

正态分布标准化的公式：Y=（X-μ）/σ～N（0，1）。证明；因为X～N（μ，σ^2），故此，P（x）=（2π）^（-1/2）*σ^（-1）*exp{[-（x-μ）^2]/（2σ^2）}。注：F（y）为Y的分布函数，Fx（x）为X的分布函数。而F（y）=P（Y≤y）=P（（X-μ）/σ≤y）=P（X≤σy+μ）=Fx（σy+μ）。故此，p（y）=F（y）=Fx（σy+μ）*σ=P（σy+μ）*σ=[（2π）^（-1/2）]*e^[-（x^2）/2]。以此，N（0，1）。正态分布标准化的意义是可以方便计算是一种统计学概念。

求希望：ξ

希望：Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn

方差：s? 方差公式：s?1/n[(x1-x)?(x2-x)?……+(xn-x)瞉

注：x上有“-”

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution）是一个在数学、物理及工程等领域都很重要的可能性分布，在统计学的不少方面有着重要的影响力。若随机变量X服从一个数学希望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。其可能性密度函数为正态分布的希望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因为这个原因大家又常常称之为钟形曲线。我们一般所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

正态分布早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。

C.F.高斯在研究测量误差时从另一个的视角导出了正态分布。

P.S.拉普拉斯和高斯研究了正态分布的性质。

正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都很重要的可能性分布，在统计学的不少方面有着重要的影响力。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因为这个原因大家又常常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学希望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其可能性密度函数为正态分布的希望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

标准正态分布（英语：standard normal distribution）是以0为均数，以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。

标准正态分布又称为u分布是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。

标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表（自由度为∞时），借助该表完全就能够估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。

1.正态分布

若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知曲线服从正态分布，记号 ～ 。这当中μ、σ2 是两个无法确定常数是正态分布的参数，不一样的 、不一样的 对应不一样的正态分布。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。

2．正态分布的特点

服从正态分布的变量的频数分布由 、 完全决定。

(1) 是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以 为对称轴，左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数一样，均等于 。

(2) 描述正态分布资料数据分布的离散程度， 越大，数据分布越分散， 越小，数据分布越集中。 也称为是正态分布的形状参数， 越大，曲线越扁平，反之， 越小，曲线越瘦高。

标准正态分布standard normal distribution

1．标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的μ和σ2为0和1，一般用 （或Z）表示服从标准正态分布的变量，记为 Z～N（0，1）。

2．标准化变换：此变换有特性：若原分布服从正态分布 ，则Z=(x-μ)/σ ～ N(0,1) 就服从标准正态分布,通过查标准正态分布表完全就能够直接计算出原正态分布的可能性值。故该变换被称为标准化变换。

3. 标准正态分布表

标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X(现目前值）范围内的面积比例 。

正态曲线下面积分布

1．实质上工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的可能性（可能性分布）。不一样 范围内正态曲线下的面积可用公式计算。

2.哪些重要的面积比例

轴与正态曲线当中的面积恒等于1。正态曲线下，横轴区间（μ-σ，μ+σ）内的面积为68.27%，横轴区间（μ-1.96σ，μ+1.96σ）内的面积为95.00%，横轴区间（μ-2.58σ，μ+2.58σ）内的面积为99.00%。

设两个变量分别是X和Y，既然如此那，E（X+Y）=EX+EY； E(X-Y)=EX-EY

D(X+Y)=DX+DY；

D(X-Y)=DX+DY。

正态分布公式都不出现a、b，仅仅会产生均值μ和方差σ^2。

二项分布即n次独立的伯努利试验的成功次数服从的分布。（每一次试验，成功的可能性都为p, 0p1，重复n此，成功的次数m即服从二项公布）。

m的均值（希望）的计算方式为，算出m=k的可能性P_k，（k=1，……，n），P_k=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k), C(n,k)为组合数

希望为∑k*P_k=np。

方差为∑(k-np)^2*P_k=np(1-p)。

当n很大时，由渐进正态性，与正态分布N(μ, σ^2)很接近（μ=np，σ^2=np(1-p)）。

正态分布的均值就是希望，你把该密度化成p(x)=1/[(√2π)σ] exp{-(x-μ)²/(2σ²)}形式，这当中的μ就是你要求的均值。

ex和dx的公式：DX=E（X^2-2XEX+（EX）^2）。D（X）指方差，E（X）指希望。方差是在可能性论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。可能性论中方差用来度量随机变量和其数学希望（即均值）当中的偏离程度。

可能性论是研究随机情况数量规律的数学分支。随机情况是对比决定性情况来说的，在一定条件下肯定出现某一结果的情况称为决定性情况。比如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水肯定会沸腾等。随机情况则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前，不可以肯定出现哪种结果，呈现出偶然性。比如，掷一硬币，可能产生正面或反面。随机情况的达到和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。典型的随机试验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌还有轮盘游戏等。

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布是一个在数学、物理及工程等领域都很重要的可能性分布，在统计学的不少方面有着重要的影响力。若随机变量X服从一个数学希望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。其可能性密度函数为正态分布的希望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因为这个原因大家又常常称之为钟形曲线。我们一般所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

推导过程：

因为X～N(μ,σ^2),故此，P(x)=(2π)^(-1/2)*σ^(-1)*exp{[-(x-μ)^2]/(2σ^2)}.这当中 F(y)为Y的分布函数，Fx(x)为X的分布函数。而 F(y)=P(Y≤y)=P((X-μ)/σ≤y)=P(X≤σy+μ)=Fx(σy+μ)故此， p(y)=F(y)=Fx(σy+μ)*σ=P(σy+μ)*σ=[(2π)^(-1/2)]*e^[-（x^2)/2].以此，Y～N(0,1)。

以前是对t求积分，换元后是对u求积分，以前上限的x要带进u，得到新的上限

正态分布公式

正态分布函数密度曲线可以表示为：称x服从正态分布，记为X~N(m,s2)，这当中μ为均值，s为标准差，X∈（-∞，+ ∞ )。标准正态分布另正态分布的μ为0，s为1。