二元一次导数公式，二元二次方程怎么求导

以一例说明

　　设：u(x,y) = ax^m + bxy + cy^n

　　∂u/∂x = amx^(m-1) + by ：对x求偏导时把y看成是常数,对y时把x看成常数；

　　∂^2u/∂x^2 = am(m-1)x^(m-2)

　　∂^2u/∂x∂y = b

　　∂u/∂y = bx + cny^(n-1)

　　∂^2u/∂y^2 = cn(n-1)y^(n-2)

　　若求u(x,y)的微分：

　　 du = ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy

　　 = [amx^(m-1) + by]dx + [bx + cny^(n-1)]dy

　　其它高阶偏导类似方式进行.

　　在 　　　　x²/a²+y²/b² = 1 中求微分，得 　　　　2xdx/a²+2ydy/b² = 0， 整理成 　　　　dy/dx = …… 即是。

假设是二元函数,求导时就要指明是对哪个变量求导才可以,这个时候就是偏导啦,要是没指明,那就只好把全部的变量都求个导啦~...

当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。假设函数f(x,y)在域D的每一点都可以导，既然如此那，称函数f(x,y)在域D可导。



公式

∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]

∂z/∂y=-x·2y/2√(x²+y²)^(3/2)]=-xy/[(x²+y²)^(3/2)]

∂²z/∂x²=-(3/2)y²·2x/[(x²+y²)^(5/2)]=-3xy²/[(x²+y²)^(5/2)]

∂²z/∂x∂y=[2y·[(x²+y²)^(3/2)-y²·(3/2)·[(x²+y²)^(1/2)2y]/[(x²+y²)³]

求二阶偏导数的方式

当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。假设函数f(x,y)在域D的每一点都可以导，既然如此那，称函数f(x,y)在域D可导。

这个时候，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数有关一个自变量求偏导数时，就故将他余的自变量看成常数，这个时候他的求导方式与一元函数导数的求法差不多的。

设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，对应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

假设△z与△x之比当△x→0时的极限存在，既然如此那，此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，记作fx(x0,y0)或函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。

把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。同样，把x固定在x0，让y有增量△y，假设极限存在既然如此那，此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数。记作fy(x0,y0)。

性质

(1)假设一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)(即二阶导数)0恒成立，既然如此那，针对区间I上的任意x,y，总有：

f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，假设总有f(x)0成立，既然如此那，上式的不等号反向。

几何的直观解释：假设一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)(即二阶导数)0恒成立，既然如此那，在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点当中的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

(2)判断函数非常大值还有极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为非常大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。

(3)函数凹凸性。

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么

1.若在(a,b)内f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

2.若在(a,b)内f’‘(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

第一求临界点

针对一个多元函数f，假设有一个点满足f全部自变量的偏导都同时为0，既然如此那，这个点被称为f的临界点，也称为驻点。

例子：求f(x, y) = x2 – 2xy + 3y2 + 2x – 2y唯有一个临界点(-1, 0)

马上判断临界点的类型：临界点可能是非常大值点 极小值点 或者鞍点 (或者什麼都不是）

f(x, y)的一个临界点是(x0, y0)，即fx(x0, y0) = 0 fy(x0, y0) = 0，f的二阶导数是fxx,fxy,fyy 令A=fxx(x0,y0), B=fxy(x0,y0), C=fyy(x0,y0)

第一外层函数就是一个根号,按根号求一个导数；然后在求内层函数其实就是常说的根号里面的函数的导数；两者相乘就行了。

导数和偏导没有实质区别,都是当自变量的变化量趋于0时,函数值的变化量与自变量变化量比值的极限（有过极限存在，）.

一元函数,一个y对应一个x,导数唯有一个.

二元函数,一个z对应一个x和一个y,那就有两个导数了,一个是z对x的导数,一个是z对y的导数,称之为偏导.

求偏导时要注意,对一个变量求导,则视另一个变量为常数,只对改变量求导,以此将偏导的解答转化成了一元函数的求导了.

你直接将 (x^2+y^2)看做一个整体，再用一元求导公式 “(x^n) = n×x^(n-1) ”后，得出结果不是对 x 的偏导数，而是对 u 的导数，这当中 u =x^2+y^2。

应该用复合函数求导法

∂√(x^2+y^2)/∂x = [(1/2)/√(x^2+y^2)] ∂(x^2+y^2)/∂x

= [(1/2)/√(x^2+y^2)] 2x = x/√(x^2+y^2)