考研必备数学公式，求和的数学公式

导数公式

1(tgx)=secx(arcsinx)=√1-x2ctgxr)=-csc x1(secx)=secx.tgx

(arccos.x)=- (cscx)=-cscx.ctgx

1(ax)=In(arctgx)=1+x1 (logx)=arcctgx)=- xIn a1+x2

基本积分表达公式

三角函数的有理式积分公式

初等函数公式

极限公式

三角函数的诱导公式

和差化积公式

和差角公式

一、经常会用到诱导公式

　　公式一：

　　设α为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：

　　sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）

　　cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）

　　tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）

　　cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）

　　公式二：

　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值当中的关系：

　　sin（π＋α）＝－sinα

　　cos（π＋α）＝－cosα

　　tan（π＋α）＝tanα

　　cot（π＋α）＝cotα

　　公式三：

　　任意角α与-α的三角函数值当中的关系：

　　sin（－α）＝－sinα

　　cos（－α）＝cosα

　　tan（－α）＝－tanα

　　cot（－α）＝－cotα

　　公式四：

　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值当中的关系：

　　sin（π－α）＝sinα

　　cos（π－α）＝－cosα

　　tan（π－α）＝－tanα

　　cot（π－α）＝－cotα

　　公式五：

　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值当中的关系：

　　sin（2π－α）＝－sinα

　　cos（2π－α）＝cosα

　　tan（2π－α）＝－tanα

　　cot（2π－α）＝－cotα

　　公式六：

　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值当中的关系：

　　sin（π/2＋α）＝cosα

　　cos（π/2＋α）＝－sinα

　　tan（π/2＋α）＝－cotα

　　cot（π/2＋α）＝－tanα

　　sin（π/2－α）＝cosα

　　cos（π/2－α）＝sinα

　　tan（π/2－α）＝cotα

　　cot（π/2－α）＝tanα

　　sin（3π/2＋α）＝－cosα

　　cos（3π/2＋α）＝sinα

　　tan（3π/2＋α）＝－cotα

　　cot（3π/2＋α）＝－tanα

　　sin（3π/2－α）＝－cosα

　　cos（3π/2－α）＝－sinα

　　tan（3π/2－α）＝cotα

　　cot（3π/2－α）＝tanα

　　(以上k∈Z)

　　注意：在做练习题的时候，将a看成锐角来做会很好做。

　　诱导公式记忆口诀：

　　上面这些诱导公式可以概括为：

　　针对π/2*k±α(k∈Z)的三角函数值，

　　（1）当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

　　（2）当k是奇数时，得到α对应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→tan.

　　（奇变偶不变）

　　然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

　　（符号看象限）

　　比如：

　　sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，故此，取sinα。

　　当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。

　　故此，sin(2π－α)＝－sinα

上面说的的记忆口诀是：

　　奇变偶不变，符号看象限。

　　公式右边的符号为把α默认为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α

　　所在象限的原三角函数值的符号可记忆

　　水平诱导名不变；符号看象限。

　　各自不同的三角函数在四个象限的符号如何判断，也可记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．

　　这十二字口诀的意思就是说：

　　第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；

　　第二象限内唯有正弦是“＋”，其余都是“－”；

　　第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；

　　第四象限内唯有余弦是“＋”，其余都是“－”．

　　上面说的记忆口诀，一全正，二正弦，三内切，四余弦

　　还有一种根据函数类型分象限制要求正负：

　　函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限

　　正弦...........＋............＋............—............—........

　　余弦...........＋............—............—............＋........

　　正切...........＋............—............＋............—........

　　余切...........＋............—............＋............—........

二、同角三角函数关系

　　倒数关系：

　　tanα·cotα＝1

　　sinα·cscα＝1

　　cosα·secα＝1

　　商的关系：

　　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

　　平方关系：

　　sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

　　1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

　　1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

　　同角三角函数关系六角形记忆法：

　　六角形记忆法：

　　构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。

　　（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；

　　（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

　　（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。

　　（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

三、两角和差公式：

　　1、两角和与差的三角函数公式：

　　sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

　　sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

　　cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

　　cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

　　tan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)

　　tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα·tanβ)

　　2、二倍角公式：

　　二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

　　sin2α＝2sinαcosα

　　cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

　　tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)]

　　3、半角公式：

　　半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

　　sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2

　　cos^2(α/2)＝(1＋cosα)／2

　　tan^2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)

　　另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

　　4、万能公式：

　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

　　cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

　　万能公式推导：

　　附推导：

　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

　　（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

　　再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα/(1＋tan^2(α))

　　然后用α/2代替α就可以。

　　同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可以通过正弦比余弦得到。

　　5、三倍角公式：

　　三倍角的正弦、余弦和正切公式：

　　sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

　　cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

　　tan3α＝[3tanα－tan^3(α)]／[1－3tan^2(α)]

　　三倍角公式推导：

　　附推导：

　　tan3α＝sin3α/cos3α

　　＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

　　＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

　　上下同除以cos^3(α)，得：

　　tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

　　sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα

　　＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα

　　＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^3(α)

　　＝3sinα－4sin^3(α)

　　cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα

　　＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

　　＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))

　　＝4cos^3(α)－3cosα

　　即

　　sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

　　cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

　　三倍角公式联想记忆：

　　记忆方式：谐音、联想

　　正弦三倍角：3元减4元3角（欠债了(被减成负数)，故此，要“挣钱”(音似“正弦”)）

　　余弦三倍角：4元3角减3元（减完后面还有“余”）

　　Ps：注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

　　另外的记忆方式：

　　正弦三倍角：山无司令(谐音为三无四立)三指的是3倍sinα，无指的是减号，四指的是4倍，立指的是sinα立方

　　余弦三倍角：司令无山与上同理

　　6、和差化积公式

　　三角函数的和差化积公式

　　sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]

　　sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]

　　cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]

　　cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]

　　三角函数的积化和差公式：

　　sinα·cosβ＝0.5[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

　　cosα·sinβ＝0.5[sin(α＋β)－sin(α－β)]

　　cosα·cosβ＝0.5[cos(α＋β)＋cos(α－β)]

　　sinα·sinβ＝－0.5[cos(α＋β)－cos(α－β)]

　　和差化积公式推导：

　　附推导：

　　第一，我们清楚sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb，sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

　　我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

　　故此sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　同样的，我们还清楚cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb，cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

　　故此把两式相加，我们完全就能够得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

　　故此，我们就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　这样，我们就得到了积化和差的四个公式：

　　sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　有了积化和差的四个公式以后，我们只要能一个变形，完全就能够得到和差化积的四个公式。

　　我们把上面说的四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，既然如此那，a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

　　把a，b分别用x，y表示完全就能够得到和差化积的四个公式：

　　sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

　　cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

n项求和公式：n=n+1*h。n项是常见数列的一种，可以用AP表示，假设一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差。

泰勒公式是一元函数微分学的重要内容。

在数一数二中对它的要求是理解，属于重点考核的主要内容，数三中的要求是了解。但从近这些年的考试试卷来看，对泰勒公式的要求数三与数一数二的在渐渐模糊。这个问题就对数三的学员也提出了严格的要求，要以更高的标准来要求自己。在考研数学中，泰勒公式主需要在计算极限、高阶导数及一部分证明题中有重要应用，在下册中无穷级数里也会用到泰勒公式的一部分内容。