三角形中线定理证明方法，如何证明中线定理

三角形中线定理证明方式？

定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。定理公式：对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有请看下方具体内容关系：AB²+AC²=2(BI²+AI²)或作AB²+AC²=1/2（BC）²+2AI²

　　证明：勾股定理

　　AB+AC=(AH+BH)+(AH+HC)

　　=2(AI-HI)+(BI-HI)+(CI+HI)

　　=2AI-2HI+BI+HI-2BIHI+CI+HI+2CLHI

　　=2AI+BI+CI

　　=2(BI+AI)

证明中线定理简单的方式？

中线定理三角形三条中线交于一点，这点叫三角形重心，每条中线被重心分成1:22个部分。

这一结论证明简单的方式是利用三角形中位线定理和8字形的两个三角形形相似完全就能够得到对应边的比等于1:2。

中线定理的4种证法？

证法一（纯几何法）：

由平方关系，联想到勾股定理，针对这个问题构造直角三角形。

过点A作AE⊥BC，垂足为E，按照△ABC的不一样形状，垂足E可能在线段BD上、线段CD上、BC的延长线或CB的延长线上，当然E还可能与D点重合，这个时候△ABC是等腰三角形，结论明显成立。下面我们只证明垂足E在线段CD上的情况，其他情况类似证明。

证法二（剖析解读几何法）：

剖析解读几何法的特点在于计算，需用到了两点当中的距离公式。

证法三（余弦定理）：

使用余弦定理证明也很简洁。

证法四（向量法）

如何用三角形定理证明中线定理？

证法1 先做图,做出过B, C的两条中线,分别交AC于M,交AB于N,故此，M,N是AC,AB的中点.连接MN 设向量BP=λ向量PM,向量CP=μ向量PN(λ,μ为不等于0的实数) 向量BC=向量PC-向量PB=向量BP-向量CP=λ向量PM-μ向量PN, 向量NM=向量PM-向量PN,而向量BC=2向量NM 故此，,λ向量PM-μ向量PN=2向量PM-2向量PN 即(λ-2)向量PM-(μ-2)向量PN=O向量 因为向量PM与向量PN不共线,故此，λ=2,μ=2 故此，向量BP=2向量PM 由此证得两中线交点把BM分成2:1.同理可证另一条中线与BM的交点也有此性质,故三角形的三条中线交于一点，并平分每条比为1：2 得证. 证法2 作出一个三角形ABC,设D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,在平面上任取一点O,设向量OA=a,向量OB=b，向量OC=c 则向量OD=1/2（b+c),向量OF=1/2(a+b),向量OE=1/2(c+a). 再设P为AD上的三等分点，满足向量AP=2向量PD， 则向量OP=1/3向量OA+2/3OD=1/2a+2/3 * 1/2(a+b)=1/3(a+b+c) 同理可证，P也是BE，CF的三等分点，因为这个原因三条中线交于点P。 三角形的3中线交于一点，并平分每条比为1：2

中线公式的推导？

设⊿ABC的角A、B、C的对边分别是a、b、c．

1、三角形的三条中线都在三角形内。

2、三角形的三条中线长： ................_______ ma=(1/2)√2b^2+2c^2-a^2 ； ................_______ mb=(1/2)√2c^2+2a^2-b^2 ； ................_______ mc=(1/2)√2a^2+2b^2-c^2 。 (ma,mb,mc分别是角A,B,C所对的中线长）

3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.

证明

三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的。

若AD是△ABC的中线，则有：AD＝（1/2）√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）。

利用勾股定理推导。

过A作AE⊥BC，垂足为E。

一、当D、E重合时，则有：AB＝AC、BD＝BC/2。

由勾股定理，有：AD^2＝AB^2－BD^2＝AB^2－BC^2/4＝（1/4）（4AB^2－BC^2），

∴AD＝（1/2）√（4AB^2－BC^2）＝（1/2）√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）。

二、当E在线段CD上时，

由勾股定理，有：AE^2＝AB^2－BE^2、AE^2＝AC^2－CE^2，

∴2AE^2＝AB^2＋AC^2－BE^2－CE^2＝AB^2＋AC^2－（BD＋DE）^2－（CD－DE）^2，

∴2AE^2＝AB^2＋AC^2－BD^2－2BD×DE－DE^2－CD^2＋2CD×DE－DE^2，

而BD＝CD＝BC/2，

∴2AE^2＝AB^2＋AC^2－2（BC/2）^2－2DE^2＝AB^2＋AC^2－BC^2/2－2DE^2。

再由勾股定理，有：AE^2＝AD^2－DE^2，代入上式中，得：

2AD^2－2DE^2＝AB^2＋AC^2－BC^2/2－2DE^2，

∴4AD^2＝2AB^2＋2AC^2－BC^2，

∴AD＝（1/2）√（AB^2＋AC^2－BC^2）。

如何证明中线的性质、即相似三角形对应中线的比等于相似比？

证明：假设三角形ABC相似于三角形A'B'C',AD和A’D’分别是BC和B’C’上的中线有AB：A'B'=BC：B'C'∠B=∠B’因为D和D’是中点,故此，BD：B’D’也等于AB：A’B’三角形ABD相似于三角形A’B’D’故此，中线AD：A’D’也等于相似比

三角形中线定理的证明过程？

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），还等于第三边的一半。

证明：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。求证DE平行于BC且等于BC/2

过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。

∵CG∥AD

∴∠A=∠ACG

∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号）

∴△ADE≌△CGE （A.S.A)

∴AD=CG(全等三角形对应边相等)

∵D为AB中点

∴AD=BD

∴BD=CG

又∵BD∥CG

∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∴DG∥BC且DG=BC

∴DE=DG/2=BC/2

∴三角形的中位线定理成立

逆定理

逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段是三角形的中位线。