垂心坐标公式，向量垂心的推导公式

三角形垂心坐标公式：(y2-y1)/(x2-x1)=-(x3-x0)。三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，这当中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

垂心：

A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，垂心H(x0,y0)

用斜率是负倒数关系Kbc=y3-y2/x3-x2 Kah=y1-y0/x1-x0 Kah=-1/Kbc

得到方程(y3-y2)/(x3-x2)=-(x1-x0)/(y1-y0)

同理可得方程(y2-y1)/(x2-x1)=-(x3-x0)/(y3-y0)，解出x0，y0就可以。

由OA•OB=OB•OC，得OA•OB-OB•OC=OB•（OA-OC）=OB•CA=0，即OB⊥CA，同理OC⊥AB，OA⊥BC，故O为△ABC的垂心。

三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外。

教你一个强制减法的方式“源终-源起”源就是基底向量的尾巴，如：向量AB=源终-源起=向量OB-向量OA。

在空间直角坐标系中，分别取与x轴、y轴，z轴方向一样的3个单位向量i，j，k作为一组基底。若为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量a。

由空间基本定理知，有且唯有一组实数(x,y,z)，让a=ix+jy+kz，因为这个原因把实数对(x,y,z)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y,z)。那就是向量a的坐标表示。这当中(x,y,z)，就是点P的坐标。向量a称为点P的位置向量。

坐标表示：

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向一样的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点P为终点作向量a。

由平面向量基本定理就可以清楚的知道，有且唯有一对实数（x,y），让a=xi+yj，因为这个原因把实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。那就是向量a的坐标表示。这当中(x,y)就是点 的坐标。向量a称为点P的位置向量。

三角形垂心坐标公式：(y2-y1)/(x2-x1)=-(x3-x0)。三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，这当中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形

连接AO 交BC与E点，连接BO 交AC与F点，则有∠AFB=∠AEB=90度，又∠AOF=∠EOB（对顶角相等），故此，∠EAF=∠EBF。

因为OA=BC,∠EAF=∠EBF,∠AFB=∠BFC,故此，△AOF与△BCF全等，因为这个原因AF=BF，在Rt△ABF中，就可以求得tan∠BAC=1

重心中线交点，垂心高的交点，外心中垂线交点，内心角平分线交点。

1、若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=02、若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）

3、若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）

4、若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）5、AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心6、AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心7、AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心8、若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点扩展资料：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

证明三角形的三条角平分线必交于一点己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC求证：OC平分∠ACB证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别是D,E,F∵AO平分∠BAC,∴OD=OF；∵BO平分∠ABC,∴OE=OF ；∴OD=OF∴O在∠ACB角平分线上 ∴CO平分∠ACB性质1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3、r=2S/(a+b+c)4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5、∠BOC = 90 °+∠A/2， ∠BOA = 90 °+∠C/2， ∠AOC = 90 °+∠B/26、S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)

三角形垂心

　　设△ABC的三条高为AD、BE、CF，这当中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、

　　C的对边分别是a、b、c，p=(a+b+c)/2.

　　1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.

　　2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；

　　3、 垂心H有关三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

　　4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。

　　5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一-垂心组)。

　　6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。

　　7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。

　　8、 设O，H分别是△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

　　9、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

　　10、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长短(施瓦尔兹三角形，早在古希腊时期由海伦发现)。

　　11、西姆松定理(西姆松线)：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

　　12、 设锐角△ABC内有一点P，既然如此那，P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

　　13、设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别是H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别是△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。

　　14、三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

　　实际上直角三角形垂心在三角形直角顶点，钝角三角形垂心在三角形外部。

三棱锥公式是V=Sh/3，三棱锥表面积=底面三角形面积+3个侧面三角形的面积，三棱锥锥体的一种，几何体，由四个三角形组成，固定底面时有一个顶点，不固定底面时有四个顶点。在几何学上，棱锥又称角锥是三维多面体的一种，由多边形各个顶点向它所在的平面外一点依次连直线段而构成。多边形称为棱锥的底面。

三角形的重心是三角形三条中线的交点。

三角形的重心的性质：

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和小。

4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系-横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 。

5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

6.重心是三角形内到三边距离之积大的点。

三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

三角形的外心的性质：

1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心。

2三角形的外接圆有且唯有一个,即针对给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有大量个,这些三角形的外心重合。

3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合。

4.OA=OB=OC=R 。

5.∠BOC=2∠BAC,∠AOB=2∠ACB,∠COA=2∠CBA 。

6.S△ABC=abc/4R。

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

三角形的内心的性质：

1.三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内心 。

2.三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r 。

3.r=2S/(a+b+c)。

4.在Rt△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2。

5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 。

6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)。

三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(一般用H表示)。

三角形的垂心的性质：

1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 。

2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心 。

3.垂心O有关三边的对称点,均在△ABC的外接圆上。

4.△ABC中，有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AO·OD=BO·OE=CO·OF 。

5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

7.在非直角三角形中,过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP。tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。

8.三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍。

9.设O,H分别是△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA。　

10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长短。

三角形的重心是中线的交点，等腰直角三角形三线合一，重心在底边的中垂线、角平分线和中线上。